高等代數(shù)考研大綱
一、考試性質(zhì)
海南大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試初試科目。
二、考試時(shí)間
180 分鐘。
三、考試方式與分值
閉卷、筆試。滿分 150 分。
四、考試內(nèi)容
第一章 多項(xiàng)式
第一節(jié)-第三節(jié)：數(shù)域、一元多項(xiàng)式、 多項(xiàng)式整除的概念及性質(zhì);
第四節(jié)： 最大公因式，多項(xiàng)式互素的概念及性質(zhì)，不可約多項(xiàng)式的概念及性質(zhì);
第五節(jié)： 因式分解定理;
第六節(jié)： 重因式、 重根的判別;
第七節(jié)-第九節(jié)： 多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根，有理根的求法，艾森斯坦因判別法。
第二章 行列式
第一節(jié)-第三節(jié)：排列、 行列式的定義;
第四節(jié)： 行列式的性質(zhì);
第五節(jié)： 行列式的計(jì)算;
第六節(jié)：行列式按行(列)展開;
第七節(jié)： Cramer 法則。
第三章 線性方程組
第一節(jié)-第四節(jié)：消元法解線性方程組， 向量組線性相關(guān)(無關(guān))的概念、性質(zhì)及判定定理;向量組的極大線性無關(guān)組的概念、 性質(zhì)， 向量組之間秩的大小關(guān)系、矩陣的秩;
第五節(jié)-第六節(jié)： 線性方程組有解的判別定理、齊次線性方程組有非零解的條件、基礎(chǔ)解系的計(jì)算與性質(zhì)、齊次線性方程組的通解，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)。
第四章 矩陣
第一節(jié)-第三節(jié)： 矩陣的概念與運(yùn)算， 矩陣乘積的`行列式與秩;
第四節(jié)-第五節(jié)：逆矩陣概念、性質(zhì)、 矩陣可逆的條件，伴隨矩陣及其性質(zhì)、求逆矩陣的公式法， 分塊矩陣(包括矩陣乘法的常用分塊方法并證明與矩陣相關(guān)的問題)，幾種特殊矩陣的性質(zhì)(如準(zhǔn)對角陣，對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、正交矩陣等);
第六節(jié)-第七節(jié)： 矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用，矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形、 初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣，分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用。
第五章 二次型
第一節(jié)-第二節(jié)：二次型的概念及二次型的矩陣， 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形， 矩陣合同的概念與性質(zhì);
第三節(jié)： 實(shí)二次型的規(guī)范型、正(負(fù))慣性指數(shù)、符號差， 慣性定律及應(yīng)用;
第四節(jié)：正定、半正定矩陣(二次型)的概念，矩陣(二次型)是正定、半正定矩陣(二次型)的判定定理。
第六章 線性空間
第一節(jié)-第二節(jié)： 線性空間的定義及性質(zhì);
第三節(jié)-第四節(jié)： 線性空間中一個(gè)向量組的秩，線性空間的基與維數(shù)，基擴(kuò)充定理，維數(shù)公式，基變換與坐標(biāo)變換;
第五節(jié)-第八節(jié)：子空間的概念、判定定理、一組向量的生成子空間，子空間的交、和與直和的概念及相關(guān)判定定理，一些常見的子空間。
第七章 線性變換
第一節(jié)-第二節(jié)： 線性變換的定義與運(yùn)算;
第三節(jié)： 線性變換與 n 階矩陣的對應(yīng)定理，線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系，矩陣相似的概念及性質(zhì);
第四節(jié)-第五節(jié)： 矩陣的特征多項(xiàng)式及其有關(guān)性質(zhì)，特征子空間，求線性變換在給定基下的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性無關(guān)的特征向量的判別及最大個(gè)數(shù)，實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，線性變換(包括矩陣)可對角化的判定定理;
第六節(jié)-第七節(jié)：線性變換的核與值域、線性變換的零度與秩的概念與相關(guān)定理、 不變子空間。
第八章 歐氏空間
第一節(jié)-第三節(jié)： 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)。度量矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法以及性質(zhì)， 正交矩陣的概念、性質(zhì)，有限維歐氏空間同構(gòu)的概念、判定定理;
第四節(jié)-第五節(jié)：線性變換是正交變換的定義及充要條件， 子空間的概念，子空間正交的概念與性質(zhì)，子空間正交、正交補(bǔ)的概念及相關(guān)定理;
第六節(jié)：實(shí)對陳矩陣的概念及性質(zhì)，對稱變換的定義與性質(zhì)，對實(shí)對稱矩陣 A 求正交矩陣T 使成對角形(用正交線性替換將實(shí)二次型化為平方和);
第七節(jié)：向量到子空間的距離、最小二乘法。
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