小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)論文1

　　=100.48（平方分米）

　　又如，以上教材第40頁(yè)例2，一堆煤近似圓錐體，底面周長(zhǎng)18.84米，高1.8米，準(zhǔn)備用載重5噸的車來運(yùn)。一次運(yùn)走這堆煤，需要多少輛車？（1立方米煤重1.4噸）。教材采用三步分步式計(jì)算，共有四次乘法、兩次除法計(jì)算，麻煩不說，準(zhǔn)確率可想而知。在學(xué)生獲取題目信息，理解題意，明確解題步驟的基礎(chǔ)上，采用綜合式計(jì)算較為簡(jiǎn)便，且π以外的乘除法都先計(jì)算（在只有乘除法的算式中這樣計(jì)算是符合運(yùn)算規(guī)律的），最后再求關(guān)于π的值，學(xué)生都會(huì)做得心應(yīng)手：

　　3.14×（18.84÷3.14÷2）2×1.8×（1/3）×1.4÷5

　　=3.14×(9×0.6×1.4÷5)

　　=3.14×1.512

　　=4.74768

　　≈5(輛）（這里采用“進(jìn)一法”取近似值）

　　經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練和強(qiáng)化，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣明顯提高，學(xué)習(xí)自信心和學(xué)習(xí)動(dòng)力明顯增強(qiáng)，計(jì)算準(zhǔn)確率大大提高，使這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)達(dá)到了事半功倍的效果。

　　論文2：如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

　　隨著《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的進(jìn)一步深入實(shí)施，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，讓學(xué)生真正做到主動(dòng)地獲取知識(shí)，自主進(jìn)行學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣就變得尤為重要。

　　數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣是教學(xué)成功與否的關(guān)鍵。從教學(xué)某種程度說，如果抓住了學(xué)生的心理特征，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚興趣，對(duì)教學(xué)將有巨大的推動(dòng)作用。興趣的培養(yǎng)是一個(gè)重要的方面，興趣的激發(fā)有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物并進(jìn)行探索，興趣是學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳催化劑，。學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)有興趣，思維活動(dòng)才積極有效，學(xué)習(xí)才能取得事半功倍的效果。

　　教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的途徑是多種多樣的。除了擁有和諧、融洽的師生關(guān)系氛圍外，更重要的是選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣。結(jié)合自己的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，談?wù)勗诩ぐl(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣方面的幾點(diǎn)體會(huì)：

　　一.根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)、驗(yàn)證，自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)獲取知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過猜想、實(shí)踐、類推等實(shí)踐活動(dòng)形式，讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步形成評(píng)講與反思的意識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例如，在教學(xué)《整數(shù)除以分?jǐn)?shù)》時(shí)，我首先讓學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測(cè)，嘗試完成計(jì)算，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。然后讓學(xué)生選擇已有的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行驗(yàn)證。例如將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計(jì)算，或者利用除法中商不變的規(guī)律等方法驗(yàn)證。是學(xué)生明白整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的方法一樣，都是乘除數(shù)的倒數(shù)。學(xué)生在這種體驗(yàn)中，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的奧妙會(huì)產(chǎn)生濃厚的興趣，再通過算理的揭示，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解就更加深刻。在這個(gè)過程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生的積極能動(dòng)性得到發(fā)揮，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

　　二.創(chuàng)設(shè)生活情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　數(shù)學(xué)情境是學(xué)生掌握知識(shí)，形成能力，發(fā)展心理品質(zhì)的重要源泉，是溝通現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，具體問題與抽象概念之間的橋梁。良好的數(shù)學(xué)問題情境，能集中學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，誘發(fā)學(xué)生思維的積極性，引起學(xué)生更多的聯(lián)想，能容易調(diào)動(dòng)學(xué)生自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、感受和興趣，從而使學(xué)生自主參與知識(shí)的獲取過程，問題的解決過程。

　　問題情境生活化，就是把問題情境與學(xué)生的生活緊密聯(lián)系起來，使學(xué)生置身于生活問題情境中去解決實(shí)際問題，既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力。在教學(xué)《工程問題》時(shí)，我創(chuàng)設(shè)了這樣的問題情境：

　　同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)近年來咱們家鄉(xiāng)最大的變化是什么？你長(zhǎng)大后打算為家鄉(xiāng)的變化做哪些貢獻(xiàn)呢？

　　如果我們要把街道環(huán)境進(jìn)行綠化，使它更加美麗。打算把綠化的工程進(jìn)行招標(biāo)，應(yīng)聘單位有三個(gè)，他們都承諾保質(zhì)保量完成任務(wù)。但甲工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需要10天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需要15天，丙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需要18天。（1）你選擇哪個(gè)施工隊(duì)？為什么？（2）為了加快完成速度，你又該怎么選擇？

　　通過這樣的情境設(shè)計(jì)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)系起來，學(xué)生不會(huì)感到枯燥、乏味。相反，小學(xué)生特有的性格特點(diǎn)能有效地集中學(xué)生學(xué)習(xí)注意力，使學(xué)生參與學(xué)習(xí)的興趣極大提高，主動(dòng)獲取知識(shí)，自主學(xué)習(xí)解決數(shù)學(xué)問題的能力也會(huì)得到提高。

　　三.重視實(shí)驗(yàn)操作，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，許多知識(shí)是通過實(shí)驗(yàn)、操作，在觀察和總結(jié)的基礎(chǔ)上得到的。如果教學(xué)過程中，教師為“節(jié)省時(shí)間”，忽略了讓學(xué)生參與實(shí)踐操作活動(dòng)，即使學(xué)生在教師的操作演示下掌握了知識(shí)，我想那種獲取知識(shí)的印象也是非常模糊地，它經(jīng)不起時(shí)間的推敲。讓每個(gè)學(xué)生都參與實(shí)踐操作，使學(xué)生充分感知，理解知識(shí)。在探索獲取知識(shí)的過程中，不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣大大提高，同時(shí)也極大地發(fā)展了學(xué)生的能力。

　　例如在教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》一課時(shí)，學(xué)生通過對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，了解圓的周長(zhǎng)也直徑有關(guān)系。到底圓的周長(zhǎng)也直徑有什么關(guān)系呢？如果我直接給學(xué)生演示得出結(jié)論，或者直接給學(xué)生說出來，通過練習(xí)，學(xué)生也能了解。但這種學(xué)習(xí)可謂是“填鴨式”教學(xué)。學(xué)生不明白為什么，對(duì)知識(shí)的理解就會(huì)顯得空洞。我在教學(xué)中，讓各個(gè)學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備大小不同的的圓形，通過學(xué)習(xí)小組合作操作、探究，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)與直徑之間的關(guān)系，是學(xué)生明白：圓無論大小，周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些。充分肯定學(xué)生探究成果，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握印象深刻，形成學(xué)生對(duì)自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功的自豪感，同時(shí)更好的激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的方法是多種多樣的，小學(xué)生的學(xué)習(xí)行為很大程度受到情感的支配。根據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)，嘗試多樣教學(xué)方法，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變被動(dòng)為主動(dòng)，通過調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)參與的積極性，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)樂趣，，從而更好的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

　　論文3：小學(xué)數(shù)學(xué)好課的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

　　我們經(jīng)常見到這樣一些數(shù)學(xué)課：有的教師講得井井有條，知識(shí)分析透徹，算理演繹清晰，學(xué)生聽得輕輕松松，似乎明明白白，但稍遇變式和實(shí)際問題卻往往束手無策；有的教師設(shè)計(jì)了許多細(xì)碎的問題，師生之間一問一答，頻率很高，表面上看十分流暢，但結(jié)果檢測(cè)學(xué)生知識(shí)的掌握和能力的形成卻并不理想；有的教師注重精講知識(shí)，留出大量的時(shí)間練習(xí)各式各樣的習(xí)題，雖然學(xué)生解題能力尚可，但卻抑制了學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造潛能；有的教師讓少數(shù)優(yōu)等生在課堂上唱主角，操作、演示、活動(dòng)、匯報(bào)……表面上看熱熱鬧鬧，實(shí)際上多數(shù)學(xué)生作陪客旁觀，個(gè)別學(xué)困生更如霧里看花，不知其所以然。這些課在平時(shí)的聽課活動(dòng)和觀摩教學(xué)中并不少見，其中有些課甚至還被評(píng)為好課。眾所周知，評(píng)價(jià)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向功能。如果不對(duì)好課的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)，勢(shì)必會(huì)影響素質(zhì)教育的深入實(shí)施。本文擬從以下幾個(gè)方面探討一堂小學(xué)數(shù)學(xué)好課的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

　　“一個(gè)都不少”——面向全體學(xué)生 班級(jí)授課制的課堂教學(xué)，以統(tǒng)一化的集體教學(xué)為特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)教學(xué)要求、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)檢測(cè)等方面的一致性。它以假設(shè)的全班學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力的一致性為前提，教學(xué)中就容易“一刀切”。一堂好課，首先應(yīng)真正做到面向全體學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都在原有基礎(chǔ)上得到最大可能的發(fā)展。面向全體學(xué)生，就意味著承認(rèn)差異，因材施教。學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式制約著學(xué)習(xí)的結(jié)果，由此而產(chǎn)生的差異將導(dǎo)致不同的學(xué)生表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)傾向。承認(rèn)學(xué)生的差異性，并不意味著搞“填平補(bǔ)齊”，而是在致力于絕大多數(shù)中等水平學(xué)生發(fā)展的同時(shí)，還要使那些在數(shù)學(xué)方面學(xué)有余力的優(yōu)生脫穎而出，學(xué)有困難的學(xué)生學(xué)有所得，達(dá)到基本要求。

　　真正做到面向全體學(xué)生，應(yīng)依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和班級(jí)學(xué)生的實(shí)際，改變以教師為中心的教師與學(xué)生個(gè)體或教師與學(xué)生群體的單一課堂交往模式，形成師生之間、生生之間多向交流、多邊互動(dòng)的立體結(jié)構(gòu)；應(yīng)有效地采用活動(dòng)化、探索性的學(xué)習(xí)方式，通過合作、討論、交流，發(fā)揮“學(xué)習(xí)共同體”的作用；應(yīng)在練習(xí)層次上“上不封頂，下要保底”；應(yīng)對(duì)某些特殊學(xué)生（特優(yōu)或?qū)W困）給予特殊政策；應(yīng)使課堂成為每一位學(xué)生充分發(fā)揮自己能力的舞臺(tái)。

　　“在活動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)”——關(guān)注學(xué)習(xí)過程

　　“數(shù)學(xué)是人們?cè)趯?duì)客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎(chǔ)上，逐步抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行應(yīng)用的過程，這一過程充滿著探索與創(chuàng)造”（引自《國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》征求意見稿）。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能只是接受現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是一個(gè)以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過程。許多東西是教師難以教會(huì)的，要靠學(xué)生在活動(dòng)中去領(lǐng)會(huì)。只有學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，才是有效的學(xué)習(xí)。一堂好的數(shù)學(xué)課，教師應(yīng)十分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，向?qū)W生展示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，引導(dǎo)學(xué)生參與概念、法則的形成過程，暴露學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的思維過程。具體說，教學(xué)時(shí)應(yīng)抓住新舊知識(shí)的連接點(diǎn)，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，幫助學(xué)生獲得新知學(xué)習(xí)的必要經(jīng)驗(yàn)和預(yù)備知識(shí)（奧蘇貝爾稱之為“先行組織者”），從而為新知學(xué)習(xí)提供認(rèn)知固定點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)觀念的可利用性；應(yīng)啟發(fā)學(xué)生從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找準(zhǔn)新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，不僅要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)所需要的基礎(chǔ)，而且充分考慮學(xué)生對(duì)將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)已了解多少，從而確定新知學(xué)習(xí)的起點(diǎn)（維果茨基稱之為“最近發(fā)展區(qū)”）；應(yīng)突出新舊知識(shí)的不同點(diǎn)，在比較中發(fā)現(xiàn)矛盾，引發(fā)認(rèn)知沖突，使學(xué)生達(dá)到“憤悱”的狀態(tài)，為學(xué)習(xí)新知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，保持學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，幫助學(xué)生建構(gòu)當(dāng)前所學(xué)知識(shí)的意義。

　　關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，應(yīng)向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法。在這一過程中，凡是能讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)的，讓學(xué)生去親自體驗(yàn)，決不去教；凡是能讓學(xué)生自己去做的，讓學(xué)生親自動(dòng)手，決不替他做；凡是能讓學(xué)生自己去說的，讓學(xué)生自己動(dòng)口，決不代他講。為學(xué)生多創(chuàng)造一點(diǎn)思考的時(shí)間，多一些活動(dòng)的空間，多一點(diǎn)表現(xiàn)自我的機(jī)會(huì)，多一點(diǎn)體嘗成功的愉快，真正做到“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，而教師則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

　　“數(shù)學(xué)的生命在于應(yīng)用”——注重學(xué)用結(jié)合

　　數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的應(yīng)用業(yè)已滲透到社會(huì)的方方面面。不少專家指出，數(shù)學(xué)教學(xué)不能“掐頭去尾燒中段”，要重視數(shù)學(xué)模型的建立和數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。一堂好課，不僅要讓學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的意義，還應(yīng)使他們懂得知識(shí)的來源和實(shí)際應(yīng)用，“使學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”（引自《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》試用修訂版）。一方面，數(shù)學(xué)課本中有許多知識(shí)的教學(xué)都有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，特別是幾何初步知識(shí)、統(tǒng)計(jì)知識(shí)及一些應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，都是從實(shí)際出發(fā)，經(jīng)過分析整理編成數(shù)學(xué)問題的；另一方面，由于課本的容量有限，使得許多學(xué)生熟悉的喜聞樂見的生活事例未能進(jìn)入課本。因此，教師應(yīng)處理

　　好數(shù)學(xué)的學(xué)與用的關(guān)系，注重學(xué)用結(jié)合，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 注重學(xué)用結(jié)合，應(yīng)在課堂上充分挖掘教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)應(yīng)用性因素，堅(jiān)持從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)積累出發(fā)；應(yīng)盡可能地利用學(xué)生生活中的情景和數(shù)據(jù)編制數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活相伴；應(yīng)在教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，改變封閉式的單向結(jié)構(gòu)為開放性的多向結(jié)構(gòu)；應(yīng)盡可能地創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探索和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。使學(xué)生在實(shí)踐和應(yīng)用中體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)論文2

　　“數(shù)學(xué)小論文”是讓學(xué)生以日記的形式描述他們發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題及其解決，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷的一種書面寫作記錄。它可以是學(xué)生對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)問題的理解、評(píng)價(jià)，可以是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的真實(shí)心態(tài)和想法，可以是進(jìn)行數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)遇到的問題，也可以是利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中數(shù)學(xué)問題的經(jīng)過等。下面我們來看一下小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)論文吧。

　　摘要：起初，集合論主要是對(duì)分析數(shù)學(xué)中的“數(shù)集”或幾何學(xué)中的“點(diǎn)集”進(jìn)行研究。但是隨著科學(xué)的發(fā)展，集合論的概念已經(jīng)深入到現(xiàn)代各個(gè)方面，成為表達(dá)各種嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)概念必不可少的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來，集合的元素已由傳統(tǒng)的“數(shù)集”和“點(diǎn)集”拓展成包含文字、符號(hào)、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構(gòu)成了各種數(shù)據(jù)類型的集合。

　　關(guān)鍵詞：集合論、計(jì)算機(jī)、應(yīng)用

　　1、集合論的歷史。

　　集合論是一門研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)科。集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)不可或缺的基本描述工具�？梢赃@樣講，現(xiàn)代數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)的“大廈”是建立在集合論的基礎(chǔ)之上的。21世紀(jì)數(shù)學(xué)中最為深刻的活動(dòng)，就是關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的探討。這不僅涉及到數(shù)學(xué)的本性，也涉及到演繹數(shù)學(xué)的正確性。數(shù)學(xué)中若干悖論的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，而這種悖論在集合論中尤為突出。

　　集合論是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托爾（G。Cantor）于19世紀(jì)末創(chuàng)立的。

　　十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果。其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ)。十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場(chǎng)重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)。正是在這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開端。

　　經(jīng)歷二十余年后，集合論最終獲得了世界公認(rèn)。到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同。數(shù)學(xué)家們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈。在1900年第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“？？數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格�！比欢�這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。

　　這一僅涉及集合與屬于兩個(gè)最基本概念的悖論如此簡(jiǎn)單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地。號(hào)稱“天衣無縫”、“絕對(duì)嚴(yán)密”的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。從此整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

　　危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去。1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅（E。Zermelo）提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認(rèn)為悖論的出現(xiàn)是由于康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對(duì)集合的定義是含混的．策梅羅希望簡(jiǎn)潔的公理能使集合的定義及其具有的性質(zhì)更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來演變成ZF或ZFS公理系統(tǒng)。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論。與此相對(duì)應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。

　　2、集合論在計(jì)算科學(xué)中的應(yīng)用。

　　集合論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用集合論包括集合、關(guān)系和函數(shù)3部分。1）集合集合不僅可以表示數(shù)，而且可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，還

　　可以用于非數(shù)值信息的表示和處理，如數(shù)據(jù)的增加、刪除、排序以及數(shù)據(jù)間關(guān)系的描述，有些很難用傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算來處理的問題，卻可以用集合來處理。因此，集合論在程序語(yǔ)言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)與知識(shí)庫(kù)、形式語(yǔ)言和人工智能等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。2）關(guān)系關(guān)系也廣泛地應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)中，例如計(jì)算機(jī)程序的輸入和輸出關(guān)系、數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)特性關(guān)系和計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的字符關(guān)系等，是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、情報(bào)檢索、數(shù)據(jù)庫(kù)、算法分析、計(jì)算機(jī)理論等計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的良好數(shù)據(jù)工具。另外，關(guān)系中劃分等價(jià)類的思想也可用于求網(wǎng)絡(luò)的最小生成樹等圖的算法中。3）函數(shù)函數(shù)可以看成是一種特殊的關(guān)系，計(jì)算機(jī)中把輸入、輸出間的關(guān)系看成是一種函數(shù)。類似地，在開關(guān)理論、自動(dòng)機(jī)原理和可計(jì)算性理論等領(lǐng)域中，函數(shù)都有極其廣泛的應(yīng)用，其中雙射函數(shù)是密碼學(xué)中的重要工具。

　　起初，集合論主要是對(duì)分析數(shù)學(xué)中的“數(shù)集”或幾何學(xué)中的“點(diǎn)集”進(jìn)行研究。但是隨著科學(xué)的發(fā)展，集合論的概念已經(jīng)深入到現(xiàn)代各個(gè)方面，成為表達(dá)各種嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)概念必不可少的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

　　隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來，集合的元素已由傳統(tǒng)的“數(shù)集”和“點(diǎn)集”拓展成包含文字、符號(hào)、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構(gòu)成了各種數(shù)據(jù)類型的集合。集合不僅可以用來表示數(shù)及其運(yùn)算，更可以用來表示和處理非數(shù)值信息。數(shù)據(jù)的增加、刪除、修改、排序以及數(shù)據(jù)間關(guān)系的描述等這些很難用傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算操作，可以很方便地用集合運(yùn)算來處理。從而集合論在編譯原理、開關(guān)理論、信息檢索、形式語(yǔ)言、數(shù)據(jù)庫(kù)和知識(shí)庫(kù)、CAD、CAM、CAI及AI等各個(gè)領(lǐng)域得到了

　　廣泛的應(yīng)用，而且還得到了發(fā)展，如扎德（Zadeh）的模糊集理論和保拉克（Pawlak）的粗糙集理論等等。集合論的方法已經(jīng)成為計(jì)算科學(xué)工作者不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

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