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2017考研數(shù)學(xué)暑期強(qiáng)化：線(xiàn)性代數(shù)核心考點(diǎn)解析
考研復(fù)習(xí)的強(qiáng)化階段即將開(kāi)始，如果考生想在考研數(shù)學(xué)中取得好成績(jī)，就一定要把握好暑假這個(gè)黃金時(shí)間段。通過(guò)暑假的這段時(shí)間復(fù)習(xí)，大家應(yīng)該做到把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化綜合化，尤其是考研數(shù)學(xué)中的線(xiàn)性代數(shù)。在考研數(shù)學(xué)中線(xiàn)性代數(shù)只占分值的22%，所占比例雖然不高，但是對(duì)每位考研學(xué)子來(lái)說(shuō)同樣重要。線(xiàn)性代數(shù)部分的內(nèi)容相對(duì)容易，從歷年真題分析可知考試的時(shí)候出題的套路也比較固定。但是線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)比較瑣碎，記憶量大而且容易混淆的地方較多；另外這門(mén)學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系性也比較強(qiáng)，這種聯(lián)系不僅指各個(gè)章節(jié)之間的相互聯(lián)系，更重要的是不同章節(jié)中的各種性質(zhì)、定理、判定法則之間也有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。因此，在復(fù)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的時(shí)候，要求考生做到“融會(huì)貫通”，即不僅要找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，還要掌握不同知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。為了使廣大考生在暑期強(qiáng)化階段更好地復(fù)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科，我們數(shù)學(xué)教研室李老師為大家總結(jié)了本門(mén)課程的核心考點(diǎn)，希望對(duì)大家的復(fù)習(xí)能有所幫助！
1、行列式
本章的核心考點(diǎn)是行列式的計(jì)算，包括數(shù)值型行列式的計(jì)算和抽象型行列式的計(jì)算，其中數(shù)值型行列式的計(jì)算又分為低階行列式和高階行列式兩種類(lèi)型。對(duì)于低階的數(shù)值型行列式來(lái)說(shuō)，主要的處理方法是：找1，化0，展開(kāi)，即首先找行列式中最簡(jiǎn)單的元素，利用行列式的性質(zhì)將最簡(jiǎn)單元素所在的行或者列的其他元素均化為0，然后再利用行列式的展開(kāi)定理對(duì)目標(biāo)行列式進(jìn)行降階，最后利用已知公式求得目標(biāo)行列式的值。對(duì)于高階的數(shù)值型行列式來(lái)說(shuō)，它的處理方法有兩種：一是三角化；二是展開(kāi)。所謂的三角化就是利用行列式的性質(zhì)將目標(biāo)行列式化成上三角行列式或者下三角行列式，三角化的主要思想就是化零，即利用行列式中各元素之間的關(guān)系通過(guò)行列式的性質(zhì)化出較多的零，它是解決“爪型”行列式和“對(duì)角線(xiàn)型”行列式的主要方法。而所謂的展開(kāi)就是利用行列式的展開(kāi)定理對(duì)目標(biāo)行列式進(jìn)行降階，一般解決的是遞推形式的行列式，而它的關(guān)鍵點(diǎn)則是找出Dn-1與Dn的結(jié)構(gòu)。對(duì)于數(shù)值型行列式來(lái)說(shuō)，考試直接考查的題目相對(duì)較少，它總是伴隨著線(xiàn)性方程組或者特征值與特征向量等的相關(guān)知識(shí)出題的。對(duì)行列式的考查多以抽象型行列式的形式出現(xiàn)，這一部分的考題綜合性很強(qiáng)，與后續(xù)章節(jié)的聯(lián)系比較緊密，除了要用到行列式常見(jiàn)的性質(zhì)以外，更需要結(jié)合矩陣的運(yùn)算，綜合特征值特征向量等相關(guān)考點(diǎn)，對(duì)考生能力要求較高，需要考生有扎實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)線(xiàn)性代數(shù)整個(gè)學(xué)科進(jìn)行過(guò)細(xì)致而全面的復(fù)習(xí)。抽象行列式的計(jì)算常見(jiàn)的方法有三種：一是利用行列式的性質(zhì)；二是使用矩陣運(yùn)算；三是結(jié)合特征值與特征向量。
2、矩陣
矩陣是線(xiàn)性代數(shù)的核心內(nèi)容，它是后續(xù)章節(jié)知識(shí)的基礎(chǔ)，矩陣的概念、運(yùn)算及其相關(guān)理論貫穿著整個(gè)線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)學(xué)科。這部分的考點(diǎn)較多，重點(diǎn)是矩陣的運(yùn)算，尤其是逆矩陣、矩陣的初等變換和矩陣的秩是重中之重的核心考點(diǎn)。考試題目中經(jīng)常涉及到伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、可逆陣的逆矩陣、矩陣的秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程等。另外，這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)與初等變換與初等矩陣相關(guān)的命題。本章常見(jiàn)題型有：計(jì)算方陣的冪、與伴隨矩陣相關(guān)的命題、與初等變換相關(guān)的命題、有關(guān)逆矩陣的計(jì)算與證明、解矩陣方程等。
3、向量
本章的核心考點(diǎn)是向量組的線(xiàn)性相關(guān)性的判斷，它也是線(xiàn)性代數(shù)的重點(diǎn)，同時(shí)也是考研的重點(diǎn)。2014年的考生一定要吃透向量組線(xiàn)性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，在做此處題目的時(shí)候要學(xué)會(huì)與線(xiàn)性表出、向量組的秩及線(xiàn)性方程組等相關(guān)知識(shí)聯(lián)系，從各個(gè)方面加強(qiáng)對(duì)向量組線(xiàn)性相關(guān)性的理解。此章常見(jiàn)的考試題型有：判定向量組的線(xiàn)性相關(guān)性、向量組線(xiàn)性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線(xiàn)性表出、向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題（數(shù)一要求）。
4、線(xiàn)性方程組
考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的章節(jié)，從歷年真題來(lái)看，方程組出題的頻率較高，幾乎每年都有考題。本章的核心考點(diǎn)有：解的判定與解的結(jié)構(gòu)、齊次線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明、齊次（非齊次）線(xiàn)性方程組的求解（含對(duì)參數(shù)取值的討論）。主要的題型有：線(xiàn)性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質(zhì)、齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系、非齊次線(xiàn)性方程組的通解結(jié)構(gòu)、兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題等。本章節(jié)常與向量章節(jié)聯(lián)系在一起出題，二者屬于同一問(wèn)題的不同描述，在考題中經(jīng)常是交替出現(xiàn)的。
5、特征值與特征向量
考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的章節(jié)，線(xiàn)性代數(shù)的核心內(nèi)容，題多分值大，共有三部分重點(diǎn)內(nèi)容：特征值和特征向量的概念及計(jì)算、方陣的相似對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化。核心題型有：數(shù)值型矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算、抽象型矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對(duì)角化、由特征值或特征向量反求矩陣A、有關(guān)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的問(wèn)題。本章節(jié)與二次型聯(lián)系也很緊密。
6、二次型
這部分需要掌握兩點(diǎn)：一是用正交變換法和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，核心是正交變換法。但是需要注意的是對(duì)于出現(xiàn)多重特征值時(shí)，解方程組所得的對(duì)應(yīng)的特征向量不一定是正交的，這時(shí)需要對(duì)所得到的向量組進(jìn)行施密特正交化，然后再規(guī)范化。二是二次型正定性的判斷，核心考點(diǎn)是二次型正定性的判定方法。
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