淺議數(shù)學(xué)中的美
數(shù)學(xué),由于它的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)常使學(xué)生有枯燥乏味之感,甚至敬而遠(yuǎn)之。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要不斷地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,堅(jiān)定他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。應(yīng)遵循的數(shù)學(xué)原則之一,就是美的體驗(yàn)原則,也就是進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育,即寓教于美,在美的享受中,使其心靈得到親切感,產(chǎn)生求知熱情,形成學(xué)習(xí)的自覺性。數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家魏爾曾說過:“我的工作總是努力把美和真聯(lián)系起來,而當(dāng)我必須做出選擇時(shí),我則通常選擇美!蔽籂柕脑挶砻髁藬(shù)學(xué)活動(dòng)中應(yīng)以美的感受去激勵(lì)人們產(chǎn)生、創(chuàng)造靈感,增強(qiáng)了學(xué)生的創(chuàng)造欲望與靈感。
一、簡潔美
歐拉公式:V-E+F=2,簡直可稱數(shù)學(xué)簡潔美的典范。世間的多面體有多少,沒有人能說得清,但他們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F都必須服從歐拉給出的公式,一個(gè)如此簡單的公式,概括了無數(shù)種多面體的公同特性,能不令人驚嘆不已?
數(shù)學(xué)中的簡潔美也是優(yōu)化解題思路的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力因素之一,解決問題時(shí),如何盡快地從各個(gè)方面選擇新信息,并有效地與已知信息進(jìn)行組合、編碼,獲得最佳解答方案?總是受數(shù)學(xué)的簡潔美所支配,如果問題越解決越繁,那么解決問題的思路和方法就存在問題.其實(shí),每一個(gè)復(fù)雜問題的背后一定有簡單的解法.
例:矩形ABCD中,BC= 2 , DC = 4.
以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E,則陰影部分的面積為 (結(jié)果保留л)
分析:因?yàn)殛幱安糠中螤畈灰?guī)則,所以用間接方法求解,但S陰影=S△DBC- S空白 太煩,可以連結(jié)OE交DB于點(diǎn)F,把△DEF饒著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°至△BOF,從而S陰影=S扇形OEB= =∏
點(diǎn)評(píng):將陰影圖形恰當(dāng)?shù)氐确e變形,是處理方法上的創(chuàng)新,是數(shù)學(xué)簡潔美的展現(xiàn)。
二、平滑美
優(yōu)美的曲線同樣帶給人們美的享受。如得之于自然界的四葉玫瑰線、對(duì)數(shù)螺線及應(yīng)用于建筑中人為設(shè)計(jì)的超橢圓曲線等。更有那久負(fù)盛名的茂比烏斯曲線。華盛頓一座博物館的門口,有一座奇特的數(shù)學(xué)紀(jì)念碑,碑上是一個(gè)八英尺高的不銹鋼制的茂比烏斯圈。它日夜不停緩緩地旋轉(zhuǎn)著,帶給人們美感享受的同時(shí),又昭示出人類正如它一樣永無休止地前進(jìn)著。
在進(jìn)行二次函數(shù)的教學(xué)時(shí),我首先復(fù)習(xí)了已學(xué)過的函數(shù)
然后,圖片欣賞(生活中的拋物線),彩虹、石拱橋、噴泉、投籃時(shí)籃球經(jīng)過的路徑、跳繩時(shí)繩子的形狀,禮花綻放時(shí)所經(jīng)過的路徑等,請(qǐng)同學(xué)們考慮一下,這些圖像美嗎?與以往的圖像相同嗎?哪兒不同?由此導(dǎo)入二次函數(shù)的探究學(xué)習(xí),讓學(xué)生將這樣美麗的曲線與y=ax2+bx+c產(chǎn)生了聯(lián)系,體驗(yàn)并轉(zhuǎn)變了對(duì)數(shù)學(xué)枯燥刻板的認(rèn)識(shí),看到了數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵。由生活中的實(shí)物引入,使學(xué)生不由興趣大增,激發(fā)學(xué)生的求知欲望、創(chuàng)新欲望。 三、對(duì)稱美
對(duì)稱均衡是數(shù)學(xué)形式美的主要特征。對(duì)稱美畢達(dá)哥拉斯有句名言:“一切立體圖形中最美的是球形,一切平面圖形中最美的是圓形”。而圓和球形正是幾何中對(duì)稱美的杰出體現(xiàn),圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的,也是關(guān)于圓心的任一條直線對(duì)稱的。球形既是點(diǎn)對(duì)稱,又是線對(duì)稱,還是面對(duì)稱的。各種對(duì)稱或均衡圖形如等邊三角形、雙曲線……,著名的楊輝三角形,美嗎?當(dāng)然!
新奇美,平淡中見新奇、新奇中才有藝術(shù)。未曾料到才能引人入勝,峰回路轉(zhuǎn),柳暗花明,這也正是數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的美。它會(huì)帶給人們美的享受。
四、統(tǒng)一美
數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程,統(tǒng)一的目的正如希而伯特所說的:“追求更有力的工具和更簡單的方法!
眾所周知的三角形、平行四邊形、梯形的面積公式,形式多么簡潔規(guī)整,應(yīng)用又多么廣泛普遍。在梯形的面積公式s=1/2(a+b)h(a為上底,b為下底,h為高)中,當(dāng)a=0時(shí)變成三角形的面積公式;當(dāng)a=b時(shí),變成平行四邊形的面積公式,才會(huì)體驗(yàn)到上面公式的美妙之處,即它于簡單中包含了豐富的內(nèi)涵,表面相異的數(shù)學(xué)對(duì)象又可以聯(lián)系為一個(gè)統(tǒng)一體,這種既有區(qū)別又有聯(lián)系、既對(duì)立又統(tǒng)一、從量變到質(zhì)變的辯證方法在數(shù)學(xué)中處處可見。其思維方法引人深思。
另外,勾股數(shù)、質(zhì)數(shù)……所具有的美妙性質(zhì),也引無數(shù)英雄競折腰。
五、奇異美
eπi+1=0,這個(gè)等式被評(píng)為2003年全世界自然科學(xué)界十大最美公式中的第一名。它美在哪兒?請(qǐng)看!“1”是自然數(shù)中最基本的正整數(shù),“0”是復(fù)數(shù)系中最關(guān)鍵的整數(shù),“π、e”是最常用、最重要的無理數(shù),“i”卻是虛數(shù)單位。這樣幾個(gè)復(fù)數(shù)系中最重要、最特殊的數(shù)又簡潔、又和諧、又奇異地統(tǒng)一在同一個(gè)等式中,多么奇妙、多么精彩、多么迷人,大有“神來之筆”之感,好似天工巧設(shè),出神入化,給人一種奇異的美感,令人拍案叫絕。這不僅僅是數(shù)學(xué)家的一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn),而是數(shù)學(xué)本身所具有的內(nèi)在美,這就是數(shù)學(xué)美。
根據(jù)青少年“好想”、“好動(dòng)”的特點(diǎn),在教學(xué)中教師通過一題多解(證)、一題多變。一法多用、一圖多變等數(shù)學(xué)的奇異美,鼓勵(lì)學(xué)生多向思維,標(biāo)新立異,找出最優(yōu)方法。教師要善于把握教學(xué)機(jī)制,創(chuàng)設(shè)思維境界,用數(shù)學(xué)美的進(jìn)力啟迪學(xué)生思維,當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美感受最靈敏、最強(qiáng)烈、最深刻的時(shí)候,他們的思維也進(jìn)入最佳時(shí)期,邏輯思維和靈感思維交融促進(jìn),聰明才智得到充分發(fā)揮,一旦“靈感”出現(xiàn),他們就會(huì)感受到創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的喜悅和成功后的樂趣。
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