小議用圖像法解方法

        一、由一道中考數(shù)學(xué)題引起的思考
        有這樣一道中考試題：
        利用圖像解一元二次方程x -2x-1=0時，我們采用的一種方法是：在直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y=x2和直線y=2x+1，兩圖像交點的橫坐標(biāo)就是該方程的解．
        (1)請再給出一種利用圖像求方程x2-2x-1=0的解的方法．
        (2)已知函數(shù)y=x 的圖像(如圖)：求方程x -x-2=0的解．(結(jié)果保留2個有效數(shù)字) 
         
        這是一道新課程初中數(shù)學(xué)利用函數(shù)圖像求方程的近似解，主要考查學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想綜合解決問題的能力．該題的設(shè)計非常有創(chuàng)意和開放性，以全新的方式考查學(xué)生的估算能力和解題策略，體現(xiàn)了新課程的理念，特別注重解決問題的策略，突出地體現(xiàn)了對問題的類比與探索意識，如果死記硬背知識點是難以解決的．從中考統(tǒng)計結(jié)果看，該題得分率相當(dāng)?shù)�，尤其是第�?）小題．學(xué)生對出題的意圖理解不夠，把得出方程的解看成最終目的，忽視了考查解題過程才是題目的初衷．這都說明學(xué)生解題的策略、方法掌握不夠，造成思路單一，解法不活．究其原因，主要是目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)形結(jié)合解決問題不夠重視，許多教師對數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識膚淺，解決問題方法比較單一，如僅限于教材的一些材料，缺少必要的滲透和引領(lǐng)，使學(xué)生不會通過所學(xué)多角度地思考問題．所以有必要對當(dāng)前初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)的現(xiàn)狀作分析，以引起數(shù)學(xué)教師的反思．
        二、對當(dāng)前用圖像法解方程的教學(xué)現(xiàn)狀的分析
        新人教版教材在八年級下、九年級下學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)時都對利用函數(shù)圖像估算有一些具體的體現(xiàn)與落實，如 
         
        （3）利用函數(shù)圖像解不等式：5x-1﹥2x+5
        （2）利用函數(shù)圖像求方程x -2x-2=0的實數(shù)根（精確到0.1）．
        教材的目的是讓學(xué)生親歷自主探索、動手操作、合情推理來理解方程、不等式、函數(shù)的互相關(guān)系，滲透了類比、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力．但根據(jù)筆者的調(diào)查，該內(nèi)容的實際教學(xué)情況卻不盡如人意．有的由于教師對于畫圖標(biāo)準(zhǔn)沒有明確的要求，學(xué)生畫圖的準(zhǔn)確性差異很大，導(dǎo)致給出的答案誤差較大；有的教師看到學(xué)生花費的時間太長，影響課堂教學(xué)進(jìn)度，就沒等學(xué)生完成匆匆一對答案了之；有的比較機靈的學(xué)生則先直接解得方程（組）的解，然后再畫圖，使問題只成為沒有意義的問題．        造成以上情況的原因是教材選材上受知識范圍所束縛,選取的是一元一次方程組和一元二次方程（組）．這些方程學(xué)生都已掌握了成熟、準(zhǔn)確的代數(shù)解法，再來探索利用圖像的近似求解法，就不能真正體現(xiàn)圖像法的優(yōu)勢，于是就出現(xiàn)了先用代數(shù)法解方程再在圖像上描近似點的倒置現(xiàn)象，數(shù)形結(jié)合解決問題完全成了一種作秀，顯得比較勉強，以致一些教師、學(xué)生都認(rèn)為這類問題缺乏思考的深度和必要，不如直接解方程更方便，對圖像發(fā)解決問題所得結(jié)果的合理性與準(zhǔn)確性缺乏足夠的認(rèn)識．再加上學(xué)生沒有體會到圖像法的應(yīng)用價值，因此大部分學(xué)生運用“數(shù)形結(jié)合法”的意識比較薄弱．而且作圖很繁瑣，便不太接受這種方法，所以課堂教學(xué)效果不是很好，不能真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合實用價值．教師也很難把握估算教學(xué)的尺度，尤其對過程和方法較難控制，我認(rèn)為這應(yīng)該是教材的一個不足之處．
        以上試題將課程標(biāo)準(zhǔn)“加強數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)”這一要求很好地落到實處,充分發(fā)揮評價的導(dǎo)向作用，彌補了教材的不足．試題采用了三次函數(shù)，就避開了學(xué)生可以用已有的代數(shù)法解方程的知識，并提供函數(shù)圖像，避免超出初中階段的知識范圍，很好地考查了學(xué)生對“經(jīng)歷用觀察、畫圖手段估計方程解”方法的掌握情況．該題除了體現(xiàn)圖像法本身在數(shù)學(xué)知識體系和數(shù)學(xué)思想方法上的重大價值外，也會對準(zhǔn)確理解、把握《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)形結(jié)合教學(xué)起到良好的導(dǎo)向作用．
        三、提高認(rèn)識，加強數(shù)形結(jié)合解決問題能力的培養(yǎng)
        數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“形”與“數(shù)”兩個方面.“形”與“數(shù)”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系.在一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，在二維空間，實數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，進(jìn)而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)圖像、方程與曲線建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，使得數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究；反之，也可以使圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究.這種數(shù)學(xué)問題過程中“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想.在使用過程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識，因此，數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化．
        數(shù)形結(jié)合能力是一種比較特殊的能力，它可以使我們把抽象的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形性質(zhì)，在解決一些日常實際問題和檢驗計算結(jié)果合理性時特別有用，它比復(fù)雜的筆算更有價值，同時對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，發(fā)展學(xué)生的思維能力很有幫助．通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)可以逐步提高學(xué)生解決問題的能力，有效改善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)與形的感覺，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)形結(jié)合教學(xué)的主要目的不在于獲得問題的結(jié)果，而是使學(xué)生通過經(jīng)歷解決問題的過程學(xué)會用數(shù)形結(jié)合方法和數(shù)學(xué)的觀點認(rèn)識客觀世界的規(guī)律．所以數(shù)形結(jié)合能力在學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活中都有著十分廣泛的應(yīng)用，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生的這種意識和技能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
        基于數(shù)形結(jié)合的現(xiàn)實意義，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了讓學(xué)生從“數(shù)”到“形”和從“形”到“數(shù)”之間的合理轉(zhuǎn)化的教學(xué)要求，將數(shù)形結(jié)合能力作為一條重要的課程標(biāo)準(zhǔn)．能使學(xué)生經(jīng)歷用觀察、畫圖或計算等手段估計方程解的過程；根據(jù)一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的近似解；用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解．
        例如：圖像求方程x -2x-2=0的實數(shù)根．問題不僅僅在于求解，更重要的是讓學(xué)生能直觀地探究方程的性質(zhì)，并用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程的解．如果直接解方程，就會使學(xué)生看不到方程與函數(shù)、數(shù)據(jù)與圖像的密切聯(lián)系，思維的發(fā)展就不會很全面．用函數(shù)的圖像來估計方程的解看似繁瑣，但切不可因此而忽視，不能只是一味要求培養(yǎng)計算精確答案的技能，所以教師要舍得花時間，讓學(xué)生充分體驗，真正了解數(shù)相結(jié)合的思想方法和價值．
        所以我們教師要更新教育觀念，大力增強數(shù)形結(jié)合意識的培養(yǎng)．教師要提高數(shù)形結(jié)合教學(xué)對于促進(jìn)學(xué)生形成良好數(shù)感重要性的認(rèn)識，尤其要加強方法指導(dǎo)．根據(jù)函數(shù)的圖像求方程（組）的近似解；用計算機作圖（如幾何畫板）觀察估計方程（組）的近似解等．這些方法要有機結(jié)合，滲透于學(xué)生平時的練習(xí)與實踐中，潛移默化地讓學(xué)生積累和運用數(shù)形結(jié)合的思想、技能、技巧，提高解決問題的能力．
        教師應(yīng)善于創(chuàng)造性地使用教材，充分挖掘教學(xué)資源，尤其是結(jié)合學(xué)生的生活和實踐開展生動活潑、富有意義的估算教學(xué)，在多樣化的選擇中使他們體會到數(shù)形結(jié)合的必要性和優(yōu)越性，將這種能力內(nèi)化為一種自覺，自主的意識，進(jìn)而形成一種習(xí)慣．

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