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相對論與其解的時(shí)空分析

時(shí)間:2023-03-30 20:19:49 物理畢業(yè)論文 我要投稿
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關(guān)于相對論與其解的時(shí)空分析

一。狹義相對論的時(shí)空解及比較
在狹義相對論中,兩慣性系相對速度 與 和 平行
(1)
( )為 坐標(biāo)系的坐標(biāo),( )為 坐標(biāo)系的坐標(biāo),令 , ,所以變換矩陣為
(2)
如果; ,相對速度 不變,那么


(3)
比較 與
(4)
(5)
比較后知道(4)式=(5)式
(6)
二。時(shí)空觀測的定義
為了較方便地說清楚不同的觀測結(jié)果與不同坐標(biāo)中長度與時(shí)間的相互比較
的關(guān)系,在字母頂部加3個(gè)指標(biāo),
如:
定義為:左邊指標(biāo)為觀察目標(biāo)所在的坐標(biāo)系,中間指標(biāo)為觀察者選擇的單
位長度與時(shí)間所在的坐標(biāo)系,右邊指標(biāo)為觀察者觀察時(shí)所在的坐標(biāo)系。這樣有:


其中, 和 是固有時(shí), 與 是固有長度。
三。 的推導(dǎo)
在狹義相對論中有
(6.1)
那么,在什么條件下上式會是普適的呢?
先來考察歐幾里德幾何。對觀察者而言,在歐幾里德幾何中的二維空間的坐
標(biāo) 中,觀察到的單位長度 ,與在歐幾里德幾何中的二維空間坐標(biāo) 中,
觀察到的單位長度 。觀察者是無法在長度方面區(qū)別 和 的,即
(7)
這是歐幾里德幾何的觀察者假設(shè),也是符合經(jīng)驗(yàn)的假設(shè),以前從未被指出過。
根據(jù)相對論,在四維時(shí)空坐標(biāo)中,時(shí)空量表示為:
(8)
廣義相對論中的不變量原理確定了,任意四維時(shí)空坐標(biāo)都有(8)式。
現(xiàn)在,在非歐幾里德的四維時(shí)空坐標(biāo)中,推廣歐幾里德幾何的觀察者假設(shè)。
先定義一種四維時(shí)空坐標(biāo),在觀察者觀察的時(shí)間內(nèi),這個(gè)坐標(biāo)內(nèi)的時(shí)空度規(guī)
時(shí)間平移不變性和空間平移不變性,令ξ為坐標(biāo)內(nèi)時(shí)空場ξ=
ξ ,(i=1,2,3,4),表示為李(Lie)微商有
?ξ gμυ =0 (9)

(10)
如果所取的時(shí)空體積足夠小,即 ,那么總可以成為這種坐標(biāo)。這種坐
標(biāo)具有普適性。
在四維時(shí)空中,隨意取兩個(gè)這種坐標(biāo) 和 ,觀察者在坐標(biāo)內(nèi)所觀察到的單
位時(shí)空量 和 ,如果觀察者不與坐標(biāo)外其他坐標(biāo)比較的話,他是無法在
時(shí)空量方面區(qū)分他在 和坐標(biāo)內(nèi)觀察到的單位時(shí)空量和(觀察者在 坐標(biāo)內(nèi)觀察 時(shí),也不能與 坐標(biāo)內(nèi)的比較。他只能分別觀察 和 后,再比較 和 )。這是四維彎曲時(shí)空的觀察者假設(shè)。即觀察
者無法區(qū)分不同的這種坐標(biāo)系的固有時(shí)間和固有長度。
這樣觀察者可以得到
(11)
令 , ,得:
(12)
(12.1)
由(9)式和(10)式的定義,觀察者總能認(rèn)為他所在的坐標(biāo)系內(nèi)滿足
(13)
(14)
那么有

(6)

所以 有相同的量綱。
所以可以,令
(15)
(16)
那么有
(15.1)
(16.1)
所以
(17)
而在上述定義的坐標(biāo)系中,總有
(18)
所以 (19)
這樣就有在上述定義的坐標(biāo)系中,時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化
量相等。這就是時(shí)空的對稱變化。可寫為
(6)
這里稱為時(shí)空對稱理論。上式的空間量是固有長度 和 ,時(shí)間量則
不是固有時(shí),固有時(shí) 和 有下列關(guān)系:
(20)
而 和 不符合 中的任一
種時(shí)間量的微分,故
(16)
不是真實(shí)觀測值。
四。Schwarzchild解的分析
用時(shí)空對稱理論求解Schwarzchild解十分簡單,在得到 后,因
(19)
可得
(15.2)
(16.1)
(13.1)
下面用廣義相對論四維時(shí)空標(biāo)架求解Schwarzchild解,并比較時(shí)空對稱理
論用四維時(shí)空標(biāo)架求解Schwarzchild解的辦法
(t=ict , c =1) (21)
這是靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)形式。
在求解過程中得到
, (22)
令 ,得到
(23)
令 ,其意義是將絕對平直坐標(biāo)系內(nèi)的固有時(shí)與固有長度之間
物理?xiàng)l件,應(yīng)用到有引力場的非慣性坐標(biāo)系。
因此
(16.2)
不是真實(shí)觀測值。
而固有時(shí) 與 之間有
(20.1)
這樣 與固有長度的度規(guī) 有
(24)
又因?yàn)閷τ^測者而言 項(xiàng)是觀測不到的,所以觀測到的是正交時(shí)空
坐標(biāo),這樣靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)形式:
(t=ict , c =1) (21)
不符合要求,只有
(25)
符合要求。
計(jì)算克里斯朵夫聯(lián)絡(luò)的非零分量,其中
, , ,
, 。
與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計(jì)算值一樣。

(26)
也與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計(jì)算值一樣,也可得
, (22)
令 ,Schwarzchild解中的長度量,用固有長度表示有
(23.1)
用時(shí)空對稱理論求解Schwarzchild解有
(13.1)
因?yàn)?項(xiàng)觀測不到,任何觀測坐標(biāo)都是正交的。


不變,
(其中的r 是遠(yuǎn)離引力場的觀測者的觀測值, )
這樣,時(shí)空對稱理論依舊可解釋引力紅移,引力引起的光線偏折和水星近
日點(diǎn)進(jìn) 動(dòng)(詳細(xì)內(nèi)容在附錄中)。
這樣,用時(shí)空對稱理論和廣義相對論求得的Schwarzchild解時(shí)空物理意義
等價(jià)。
五。關(guān)于Kerr解
Kerr解中 不全為0,不是真實(shí)觀測解,不能符合用四維時(shí)空的觀
察者假設(shè)推導(dǎo)出的時(shí)空對稱理論。
但用時(shí)空對稱理論分析自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,也能得到Kerr解才有的單位質(zhì)量的角
量a ,這將在下面分析。
六。時(shí)間量和空間量
經(jīng)驗(yàn)告知,空間是三維的,時(shí)間是一維的。在觀測者的直接觀測中,是觀
測不到空間與時(shí)間,空間與空間的相互作用。
故假定:觀測者通過直接觀測,無法觀測到空間與時(shí)間的相互作用量。即:
(27)
除非通過計(jì)算觀測結(jié)果,方可知道空間與時(shí)間的相互作用量。
這樣,對觀測者的直接觀測而言,任何觀測四維時(shí)空的線元長度為
(13)
而 項(xiàng)是觀測不到的。
絕對平直時(shí)空的四維時(shí)空線元
(13)
就是任何觀測者的直接觀測結(jié)果。
設(shè)有一種坐標(biāo)系:
在該坐標(biāo)系內(nèi)任何一點(diǎn)觀測,光在此坐標(biāo)系內(nèi)的任何兩點(diǎn)的行走路 徑,都
是直線;在坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的真空中光速恒定,稱為相對平直坐標(biāo)系。在彎曲時(shí)
空取足夠小的時(shí)空范圍,可得到此類坐標(biāo)系,這類似微分。在彎曲時(shí)空取足夠小
的時(shí)空范圍,該范圍的時(shí)空近似平直。這與上面關(guān)于直接觀測是觀測不
到 項(xiàng)是一致的。在此坐標(biāo)系內(nèi)有統(tǒng)一的時(shí)空單位和統(tǒng)一的鐘和尺。
所以,此坐標(biāo)系有:
(28)
[v]是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)真空中光的速度, [t]是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的
時(shí)間。
以后本文中的坐標(biāo)系都是此類坐標(biāo)系。稱為相對平直坐標(biāo)系。
不同的相對平直坐標(biāo)系之間是"平行"的,須通過物理參數(shù)的變化,物質(zhì)方
能從一個(gè)相對平直坐標(biāo)系進(jìn)入另一個(gè)相對平直坐標(biāo)系。
(29)
(29)是時(shí)空對稱理論,即時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。所
用的坐標(biāo)系是相對平直坐標(biāo)系。其中 和 不是固有時(shí),設(shè)這兩個(gè)坐標(biāo)系
固有時(shí)為 和 ,有:
(30)
所以,這里的時(shí)間量平方 與空間量平方 不能理解為:
可用時(shí)間單位或空間單位的平方代替,而應(yīng)理解為類似密度的一種量,稱為時(shí)
間量密度與空間量密度。時(shí)空對稱理論是指時(shí)間量密度與空間量密度的對稱變
化。
令時(shí)間量密度為 ,空間量密度為 ,
類比固有時(shí)平方的倒數(shù) ,并可以替代;
類比固有長度平方 ,并可以替代;
( 分別為固有時(shí)和固有長度)
令時(shí)空密度為 ,不同的相對平直坐標(biāo)系有不同的時(shí)空密度 ,任意相對平直坐標(biāo)系中有
(31)
在同一個(gè)相對平直坐標(biāo)系中, 類比線元 ,但是不可以替代。
不同的相對平直坐標(biāo)系比較時(shí)空觀測值時(shí),須使用時(shí)間量密度和空間量密
度,通過設(shè)定某一相對平直坐標(biāo)系時(shí)間量密度和空間量密度為1,得到不同的相
對平直坐標(biāo)系的不同時(shí)間量密度和空間量密度。然后,對不同的相對平直坐標(biāo)系
換算出不同的時(shí)間量和空間量單位。
這樣時(shí)空對稱理論實(shí)際上是關(guān)于時(shí)空密度的變化的理論,可表示為:
(32)
為不同的兩個(gè)相對平直坐標(biāo)系時(shí)空密度, 為時(shí)空密度的變化量。
七。時(shí)空密度的變化量
在狹義相對論中
(33)
在Schwarzschild解中
(c=1) (34)
引力 (35)
根據(jù)等效原理有慣性質(zhì)量等于引力質(zhì)量,或在局域時(shí)空內(nèi)慣性力和引力不
可區(qū)分,在本文中局域時(shí)空為相對平直坐標(biāo)系代替,那么在相對平直坐標(biāo)系中
(36)
(37)
(38)
所以有:
(39)
在狹義相對論和Schwarzschild解中
(33)
那么,時(shí)空對稱理論中,時(shí)空密度變化量 ,在 時(shí),
(33)
這樣 (37)
變?yōu)?(40)
此積分為不定積分。
這里 是能量的一種形式。用四維時(shí)空觀點(diǎn)看, 是二階逆變二階
協(xié)變張量而不是狹義速度矢量的平方。
時(shí)空對稱理論在 時(shí)表示為
(41)
為須觀測的坐標(biāo)系的時(shí)空密度; 為觀測者所在的坐標(biāo)系的時(shí)空密度,時(shí)間 密度,空間密度; 是能量的一種形式。哪個(gè)坐標(biāo)系絕對地得到能量,這個(gè)坐標(biāo)系的時(shí)空密度絕對地改變。


八。時(shí)空對稱理論和狹義相對論
假設(shè)兩個(gè)相對平直坐標(biāo)系,一個(gè)靜止,一個(gè)角速度為 做圓周運(yùn)動(dòng)。
用時(shí)空對稱理論分析
(42)
對于角速度為 的坐標(biāo)系,離心力為 ( r 為圓周半徑),
即 (43)
(44)
所以,時(shí)空密度的變化量 為
(45)
有 (46)
對于固有時(shí) 和固有長度 有
(47)
用狹義相對論分析固有時(shí)和固有長度有
(48)(是速度方向)
可以看出兩理論對固有時(shí)有相同結(jié)論;對于固有長度,時(shí)空對稱理論認(rèn)為
固有長度全方向改變,狹義相對論認(rèn)為只是平行瞬間速度 方向的固有長度
改變。
用時(shí)空對稱理論和狹義相對論分析以速度 v做直線運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系也有相同
結(jié)論,只不過時(shí)空對稱理論將以速度 v做直線運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系當(dāng)做繞無窮遠(yuǎn)處某
點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。
對于邁克耳遜-莫雷實(shí)驗(yàn),狹義相對論是用慣性系中光速恒定來解釋,時(shí)空
對稱理論是用相對平直坐標(biāo)系中光速不變來解釋。
九。時(shí)空對稱理論的詳細(xì)表述
假設(shè)1:設(shè)有時(shí)空坐標(biāo)系
(28)
(即光速恒定, 項(xiàng)觀測不到 )
是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)光的速度, 指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的固有時(shí)。
此類坐標(biāo)系稱為相對平直坐標(biāo)系。
假設(shè)2:任何觀測者所觀測到的真實(shí)時(shí)空坐標(biāo)系都是相對平直坐標(biāo)系。
不論是慣性系或非慣性系,只要坐標(biāo)系足夠小,都是此類坐標(biāo)系。
相對平直坐標(biāo)系之間比較時(shí)空量,使用時(shí)空密度
(31)
是時(shí)間密度 , 是空間密度。
在任一相對平直坐標(biāo)系中,觀測者處在相同的時(shí)空密度 中,就有相同
的時(shí)間密度 和 空間密度 ,因而有相同的固有時(shí)和固有長度。
的大小正比于固有時(shí)流逝的快慢。
的大小正比于固有長度的長短。
時(shí)空對稱理論可表述為
(32)
為不同相對平直坐標(biāo)系的時(shí)空密度。
當(dāng) ,有 (42)
(40)
用四維時(shí)空觀點(diǎn)看是二階逆變二階協(xié)變張量。
時(shí)空對稱理論認(rèn)為 是能量的一種形式,而不是狹義的速度平方或加速
度,或二階逆變二階協(xié)變張量,上式的積分為不定積分。
當(dāng)能量形式 絕對的改變,時(shí)空密度 絕對的改變。
十。時(shí)空對稱理論對不同坐標(biāo)系之間的觀測比較
時(shí)空對稱理論對不同坐標(biāo)系之間的觀測比較可簡單的分為兩種情況。其計(jì)
算結(jié)果是真實(shí)觀測值。
1。兩個(gè)相對平直坐標(biāo)系 , 比較,有時(shí)空密度 ,
假設(shè):
那么: (42)
為兩坐標(biāo)系時(shí)空密度的比較
坐標(biāo)系 的固有時(shí)比坐標(biāo)系 的固有時(shí)流逝快。
坐標(biāo)系 的固有長度比坐標(biāo)系 的固有長度長。
并通過 (40)
與經(jīng)典的速度,引力和加速度對比,從而得到不同坐標(biāo)系的固有時(shí)和固有
長度的區(qū)別。
2。設(shè)有三個(gè)坐標(biāo)系 ,時(shí)空密度分別為 ,
假設(shè)

(32.1)
(49)
其中( , )
不論觀測者在 坐標(biāo)系都將得到(49)式觀測結(jié)果,觀測者在第四坐標(biāo)系也將得到(49)式觀測結(jié)果,這是時(shí)空對稱理論中所得計(jì)算結(jié)果是真實(shí)觀測
值的推論,也是時(shí)空對稱理論的兩個(gè)假設(shè)的推論。
十一。關(guān)于時(shí)空對稱理論可能的實(shí)驗(yàn)證實(shí)
一種是檢測高速自轉(zhuǎn)物體的半徑和厚度是否縮短?
這種情況下,狹義相對論認(rèn)為只有沿速度方向的周長縮短,半徑和厚度不
變。而時(shí)空對稱理論認(rèn)為周長,半徑和厚度都將縮短。半徑縮短后為
(略去 以后項(xiàng)) (49)
項(xiàng)與Kerr-Newman解中的單位質(zhì)量角動(dòng)量項(xiàng)a一致。
厚度縮短后為
(50)
另外一種是一個(gè)加速運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與相對靜止的坐標(biāo)系之間,在 的情況下,將有時(shí)空密度 的變化。
那么,當(dāng)發(fā)射光譜的元素做加速運(yùn)動(dòng)時(shí),將有類似引力紅移的光譜紅移現(xiàn)
象。
如果,是發(fā)射光譜的元素靜止,而觀測光譜的儀器和觀測者做加速運(yùn)動(dòng),
將有光譜紫移現(xiàn)象。
除去多普勒效應(yīng),由振動(dòng)頻率公式可得,光譜線發(fā)生紅移時(shí),移動(dòng)的頻率
為: (51)
是光子的固有振動(dòng)頻率
很顯然,對于相對平直坐標(biāo)系中的物體而言,當(dāng) 時(shí),物體進(jìn)入類似黑洞事件視界的另一種事件視界。
參 考 文 獻(xiàn)
A.愛因斯坦 相對論的意義 科學(xué)出版社 1961
E.G.哈里斯 現(xiàn)代理論導(dǎo)論 上?茖W(xué)技術(shù)出版社 1975
張鎮(zhèn)九 現(xiàn)代相對論及黑洞物 華中師范大學(xué)出版社 1986


王仁川 廣義相對論引論 中國科學(xué)技術(shù)出版社 1996
俞允強(qiáng) 廣義相對論引論 北京大學(xué)出版社 1997
趙崢 黑洞的熱性質(zhì)與時(shí)空奇異性 北京大學(xué)出版社 1999





附 錄
(用時(shí)空對稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng))
廣義相對論中求質(zhì)點(diǎn)和光子的軌道方程時(shí),取球坐標(biāo),認(rèn)為運(yùn)動(dòng)滿足于
, (1)
協(xié)變動(dòng)量 和 是守恒量,有
(2)
E和L的物理意義,為觀測者所測到的質(zhì)點(diǎn)或光子的能量和角動(dòng)量。
四維速度的歸一條件 有
(3)
得到質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程
(4)
光子的軌道微分方程
(5)
廣義相對論用這兩個(gè)軌道微分方程解釋了光子的引力偏折和水星近日點(diǎn)
進(jìn)動(dòng)。
廣義相對論用來解釋引力紅移的方法也一樣適用于時(shí)空對稱理論。這里
就不重復(fù)了。只討論時(shí)空對稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)。
因?yàn)闀r(shí)空對稱理論是用真實(shí)觀測值來解釋時(shí)空的理論。用它得到的Schw-
arzschild解有
(6)
(7)
固有時(shí)的關(guān)系有
(8)
固有長度的關(guān)系有
(9)
為時(shí)空密度, 為時(shí)間密度, 為空間密度。
按固有時(shí)和固有長度來看,觀測者在遠(yuǎn)離引力場的坐標(biāo)系,觀測引力場坐
標(biāo)系有
(10)
是引力場坐標(biāo)系固有時(shí), 是遠(yuǎn)離引力場的坐標(biāo)系固有時(shí), 是引力場坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)平面角。這樣就有
(11)
因?yàn)閮蓚(gè)坐標(biāo)系之間的能量 ,角度 ,角動(dòng)量 和長度 的比較有
(12)(能量守恒)
(13) ( 項(xiàng)為零)
(14) (坐標(biāo)系之間固有時(shí)和固有長度的比較)
(15) (坐標(biāo)系之間固有長度的比較)
代入(11)式有
(16)
四維速度的歸一條件變?yōu)檎鎸?shí)觀測值有
(17)
將(16)式代入(17)式有
(18)
, 這就是時(shí)空對稱理論的引力場中的軌道微分方程。
能量E是遠(yuǎn)離引力場中的觀測者觀測到引力場中的能量,為引力場坐標(biāo)系與無窮遠(yuǎn)處坐標(biāo)系的能量差,數(shù)量級為 略去二級小量,時(shí)空對稱理論的軌道微分方程成為相對論的質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程
(4)
對于光子而言,角動(dòng)量 ,因?yàn)楣庾釉谌跻鲋凶叩膸缀跏侵本,
可以認(rèn)為光子繞無窮遠(yuǎn)處某點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。
(4)式 略去小量后,得到相對論的光子軌道微分方程
(5)
這樣,用時(shí)空對稱理論就可以解釋引力紅移,光子軌線的引力偏折和水星日
點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)了。
參 考 文 獻(xiàn)
A.愛因斯坦 相對論的意義 科學(xué)出版社 1961
張鎮(zhèn)九 現(xiàn)代相對論及黑洞物理學(xué) 華中師范大學(xué)出版社 1986
王仁川 廣義相對論引論 中國科學(xué)技術(shù)出版社 1996
俞允強(qiáng) 廣義相對論引論 北京大學(xué)出版社 1997



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