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淺談數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與前景
誠如一切科學(xué)的產(chǎn)生一樣，數(shù)學(xué)產(chǎn)生于人類社會的實踐，而得益于人類獨特的發(fā)達的大腦。伴隨著生產(chǎn)、生活的需要，模糊的數(shù)、形的概念，在原始人頭腦中日漸形成了。這個過程恐怕是很漫長的吧。人們先認識了與實體相聯(lián)系的抽象的數(shù)，如提及一、二、五時，他們腦海中浮現(xiàn)出的是與之對照的實物：一個人、二只手、五個手指之類。再往后，與實體相脫離的真正抽象的數(shù)才被確定下來。這時最早的數(shù)學(xué)分支之一“算術(shù)”產(chǎn)生了。與此進程平行，人類在實踐中也逐漸意識到形的概念。于是幾何學(xué)知識也日漸積累起來。在我國，早在西周時期，我們的祖先就已獲得了許多這方面的感性認識。對著名的勾股定理的認識就可上推到這一時期。但這時，人們對這些知識的認識大都還是感性的、零散的，還沒有上升為系統(tǒng)的科學(xué)。這一轉(zhuǎn)變完成于古希臘。一方面，代數(shù)學(xué)鼻祖丟番圖的《算術(shù)》標志著算術(shù)向初等數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，而進一步的轉(zhuǎn)變一直到韋達才真正完成。用字母代替具體數(shù)字，字母間的運算代替數(shù)字間的運算，這是算術(shù)向代數(shù)轉(zhuǎn)變所完成的本質(zhì)的、關(guān)鍵的一步。而這也同時意味著數(shù)學(xué)在抽象性上又向前邁進了一步。在另一方面，歐幾里得的《幾何原本》才真正地在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹起第一塊偉大的豐碑。不知有多少后人曾對著這座富麗堂皇的數(shù)學(xué)殿堂拱手膜拜，以至于不少哲學(xué)家都要把它供奉為絕對正確認識的楷模與典范。于是在非歐幾何誕生前，它被帶上了耀目的“絕對真理”的光環(huán)。到這時，數(shù)和形的基本概念在數(shù)學(xué)園地中已深深扎下了根，而此后數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展，就是以數(shù)形為主旋律奏響的。
早期的代數(shù)、幾何，基本上是獨立發(fā)展的，直到17世紀，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾才在兩者之間搭起友誼之橋：解析幾何。解析幾何用代數(shù)方法研究幾何問題，一方面使代數(shù)、幾何密切了聯(lián)系，相互促進了彼此的發(fā)展。另一方面也使人們的耳目為之一新。與此同時，變量的概念被引入了。而正因這變量的引入，運動的觀念進入了數(shù)學(xué)，而這終于導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的一次真正的革命：微積分在牛頓、萊布尼茲手中誕生了。微積分一出現(xiàn)，就成為數(shù)學(xué)家手中無比銳利的工具。伴隨它產(chǎn)生了一系列的研究函數(shù)的數(shù)學(xué)分支。常微分方程、偏微分方程是其中最重要的內(nèi)容。但是，產(chǎn)生于牛頓、萊布尼茲手中的微積分是先天不足。十九世紀在德國數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下對其進行了一場批判性的檢查運動。經(jīng)過柯西、維爾斯特拉斯、康托爾等人的努力，終于使其奠定了堅實的基礎(chǔ)。而使其在數(shù)學(xué)中占有了崇高的一席之地。分析、代數(shù)、幾何三足鼎立，成了數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)，即舊三基。自然，與上述進程平行的階段上，代數(shù)與幾何的發(fā)展并未停滯。事實上，從歐洲文藝復(fù)興以來，它們一直大踏步地前進著。
非歐幾何的創(chuàng)立，是幾何學(xué)上的一次革命。它不僅摘掉了帶在歐氏幾何頸上的絕對真理的光環(huán)，而且對人們的觀念造成了極大的沖擊。相對論的創(chuàng)立也得益于此。作為歐氏幾何更高程度上的延拓，射影幾何、位置幾何(或稱拓撲幾何)也先后誕生并獲得了極大發(fā)展。
代數(shù)方面，人們不再滿足于字母間的運算，而把興趣轉(zhuǎn)到對行列式、矩陣、二次型的研究上來。這就完成了初等代數(shù)向高等代數(shù)的轉(zhuǎn)化。而代數(shù)學(xué)方面最大的變革卻來自天才數(shù)學(xué)家，被視為數(shù)學(xué)瘋子的伽羅華所創(chuàng)立的群論。當時，過早的抽象落到了聾子的耳朵里，甚至連當時最偉大的數(shù)學(xué)家柯西、高斯都未能理解他的思想。但他的深邃思想?yún)s對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可估計的影響。他的群論觀點，宣布了抽象代數(shù)的誕生。而今，抽象代數(shù)研究的課題已包括群論、環(huán)論、域論、格等，而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新三基之一。與此同時，舊三基之間互相滲透又產(chǎn)生出一系列分支，如代數(shù)幾何、微分幾何等。
回視數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，不難發(fā)現(xiàn)如其它科學(xué)的發(fā)展一樣，數(shù)學(xué)的發(fā)展并不呈直線發(fā)展，而是近乎于以指數(shù)曲線邁進。
數(shù)學(xué)的萌芽時期，經(jīng)歷了最為漫長、久遠的時代，而成果僅是些零散瑣碎的算術(shù)、幾何知識的積累。從公元前5世紀的古希臘時期開始，經(jīng)東方時期、歐洲文藝復(fù)興時期，數(shù)學(xué)的發(fā)展逐漸步入了快行道。在代數(shù)、幾何方面都有大幅度長進。但這已經(jīng)歷了兩千年之久啊!18世紀，隨著分析方法的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)的發(fā)展進一步加速了。這一時期，被稱為發(fā)明時期，其開創(chuàng)領(lǐng)域之廣闊，是前無古人的。數(shù)學(xué)驚人的新的處女地被墾出來了。但這些工作大都是粗糙的、不嚴密的。19世紀，經(jīng)過自我反思的批判運動，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)變得更加堅實牢固。上世紀形成的分支趨于成熟，新穎學(xué)科又不斷涌現(xiàn)，如實變函數(shù)、點集拓撲、抽象代數(shù)……而該世紀末，康托爾創(chuàng)立的無窮集合論更為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展注入了新的活力。1900年，國際數(shù)學(xué)大會的召開宣布一個新的紀元開始了。歷史步伐跨進了20世紀。數(shù)學(xué)的發(fā)展又獲得了長足的進展。實變函數(shù)、抽象代數(shù)、高等幾何很快發(fā)展成熟。另一門極富綜合性的學(xué)科“泛函分析”宣告誕生了。它一問世，就獲得迅速發(fā)展。很快，它就與高等幾何、抽象代數(shù)一起，構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新三基。到60年代，數(shù)學(xué)發(fā)展又經(jīng)歷了幾次大的突破。模糊數(shù)學(xué)、突變理論、非標準分析先后問世，使數(shù)學(xué)內(nèi)容更加精彩紛呈。尤其是模糊數(shù)學(xué)從問世到現(xiàn)在不足幾十年的時間就已滲透入幾乎所有的數(shù)學(xué)分支，大大推動了數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展。
與理論數(shù)學(xué)的發(fā)展相對照，20世紀應(yīng)用數(shù)學(xué)亦獲得長足發(fā)展。產(chǎn)生于十八世紀的概率論，要此世紀又產(chǎn)生出新的數(shù)理統(tǒng)計，而后者已在極廣泛的社會領(lǐng)域內(nèi)大顯身手了。
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