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數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的妙用論文
數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，常�？梢詢�(yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過程。但問題在解題過程中如何進(jìn)行數(shù)形結(jié)合呢？即怎樣催化數(shù)與形的結(jié)合呢？最好的方法就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的催化劑——聯(lián)想，運(yùn)用聯(lián)想不但可以催化數(shù)與形的結(jié)合，而且可以培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力。
一、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的妙用
在函數(shù)教學(xué)中，函數(shù)及其圖象為數(shù)形結(jié)合的教學(xué)開辟了廣闊的天地。函數(shù)的圖象是從“形”的角度反映變量之間的變化規(guī)律，利用圖象的直觀性有助于題意的理解、性質(zhì)的討論、思路的探求和結(jié)果的驗(yàn)證。如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等等，根據(jù)函數(shù)圖象討論函數(shù)的性質(zhì)，借助函數(shù)圖象的直觀解決實(shí)際問題，使學(xué)生學(xué)得輕松有趣。既可以提高學(xué)生的識(shí)記能力，又可以加深對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的理解，使數(shù)與形在學(xué)生的頭腦中密切地結(jié)合起來。如：
例1：判斷下式中x的正負(fù)2x=1.2
分析：考察指數(shù)函數(shù)y=2x，因 a=2>1，在定義域(-∞，+∞)上是增函數(shù)，故畫出草圖，從圖中可知，該函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上有y>1。
因此，從2x=1.2>1可知x>0。
例2：由函數(shù)與函數(shù) y = 2 的圖象圍成一個(gè)封閉圖形，這個(gè)封閉圖形的面積是_______．
分析：本題不能直接求解（高中階段沒有此類圖形的面積公式），初看好象是偏題、怪題，但如果借助于圖形的對(duì)稱性并利用割補(bǔ)法，則可將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)等積矩形的面積問題．學(xué)生可直接看出答案。
解題回顧：本題利用了數(shù)形結(jié)合方法計(jì)算面積．圖象的對(duì)稱性可以使棘手的問題簡(jiǎn)單化，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中把未知轉(zhuǎn)化為已知的思想方法。
二、數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的妙用
作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一方面對(duì)“形”的問題，y引入坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系式，用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對(duì)于數(shù)量間的關(guān)系問題，分析其幾何意義，借助形的直觀來解。解與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題時(shí)，利用復(fù)數(shù)的幾何色彩，將使解題過程更為巧妙。
三、數(shù)形結(jié)合在不等式中的妙用
某些看似單純的數(shù)量關(guān)系的代數(shù)問題，如果能注意到它所包含的幾何意義，或者設(shè)計(jì)出一個(gè)與之相關(guān)的幾何模型則可能找到新穎別致的解法，借助“形”使我們對(duì)問題本身不但有直觀的分析，且能有更深刻和實(shí)質(zhì)的了解。
例4：不等式的解集是
分析：如果按照一般的常規(guī)解法，該題較繁雜，若轉(zhuǎn)化為圖形處理，以形輔數(shù)就方便多了。可令，y2=x+2，在同一坐標(biāo)系中分別作出它們的函數(shù)圖象。已知原不等式有意義的x值為-2≤x≤2，從圖象中觀察可見，使y1>y2成立的取值范圍是(-2,0)。
四、數(shù)形結(jié)合在證明中的應(yīng)用
例5: 設(shè)a,b,c為ΔABC的三邊的長(zhǎng)，求證
分析：用證明不等式的一般方法證明結(jié)論較為繁瑣．由左邊諸分母的結(jié)構(gòu)形式，可聯(lián)想到構(gòu)造的內(nèi)切圓，利用圖就可以將左邊化簡(jiǎn)，于是原不等式可證．
證明：設(shè)⊙O為ΔABC的內(nèi)切圓，則有
于是結(jié)論得證。
例6：設(shè)D為ΔABC邊上一點(diǎn)，而BD=2DC，
求證：AB2+2AC2=3AD2+6CD2
分析：若單從幾何角度看，已知條件和論證的目標(biāo)相距較遠(yuǎn)，不易下手。如果我們建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用解決。可設(shè)四點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(x,y)，B(-2a,0)，C(a,0)，D(0,0)，則有： |AB|2+2|AC|2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2]=3(x2+y2)+6a2
3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2
即可證得：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2
綜上所述可見，數(shù)形結(jié)合是學(xué)好數(shù)學(xué)的一把鑰匙。它可將一些看似復(fù)雜的問題變得非常簡(jiǎn)單，也常使一些難于下手的問題迎刃而解。利用圖形的直觀性解題，巧妙地簡(jiǎn)化了大量繁雜的計(jì)算和邏輯推理過程，構(gòu)思新穎，解題簡(jiǎn)潔。其方法的豐富內(nèi)涵對(duì)培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的思維能力、解題能力極為有用，也有助于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)素養(yǎng)，因而這種方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)給予足夠重視。
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