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關(guān)于高等數(shù)學教學中融入數(shù)學建模思想的探討教育論文
論文關(guān)鍵詞：
高等數(shù)學 教學改革 數(shù)學建模
論文摘要：
數(shù)學建模的思想就是用數(shù)學的思路、方法去解決實際生產(chǎn)、生活當中所遇到的問題。當前高等數(shù)學教學的一個很大的缺陷就是“學”和“用”脫節(jié)。把數(shù)學建模的思想溶入到教學中去是一個解決問題的很好的方法。
一、數(shù)學建模在高等數(shù)學教學中的重要作用
數(shù)學是在實際應用的需求中產(chǎn)生的,要解決實際問題就必需建立數(shù)學模型,即數(shù)學建模。數(shù)學建模是指對現(xiàn)實世界的一些特定對象,為了某特定目的,做出一些重要的簡化和假設(shè),運用適當?shù)臄?shù)學工具得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu),用它來解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài),預測對象的未來狀況,提供處理對象的優(yōu)化決策和控制,設(shè)計滿足某種需要的產(chǎn)品等。從此意義上講數(shù)學建模和數(shù)學一樣有古老歷史。例如,歐幾里德幾何就是一個古老的數(shù)學模型,牛頓萬有引力定律也是數(shù)學建模的一個光輝典范。今天,數(shù)學以空前的廣度和深度向其它科學技術(shù)領(lǐng)域滲透,過去很少應用數(shù)學的領(lǐng)域現(xiàn)在迅速走向定量化,數(shù)量化,需建立大量的數(shù)學模型。特別是新技術(shù)、新工藝蓬勃興起,計算機的普及和廣泛應用,數(shù)學在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。因此數(shù)學建模被時代賦予了更為重要的意義。
二、數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中的運用
高等數(shù)學教學的重點是提高學生的數(shù)學素質(zhì),學生的數(shù)學素質(zhì)主要體現(xiàn)為:抽象思維和邏輯推理的能力;如今在一些教材中也漸漸的補充了與實際問題相對應的例子,習題。如:人大出版社中的第四章第八節(jié)所提到的邊際分析與彈性分析,以及幾乎各種教材中對于函數(shù)極值問題的實際應用的例子。其實這就是實際應用中的一個簡單的建摸問題。但僅僅知道運算還是不夠的,我們還要從具體問題給出的數(shù)據(jù)建立適用的模型。下面我們就具體的例子來看看高等數(shù)學對經(jīng)濟數(shù)學的應用。例:有資料記載某農(nóng)村的達到小康水平的標準是年人均收入為2000元,據(jù)調(diào)查該村公400人,其中一戶4人年收入60萬,另一戶4人20萬,其中70%的人年收入在300元左右,其余在500左右。對于該村是否能定位在已經(jīng)達到了小康水平呢。首先我們計算平均收入:60萬,20萬各一戶共8人,300元共400×70%=280人,500元共400-288=112人。
平均收入為元
從這個數(shù)據(jù)我們可以看出該村的平均收入超過2000元,所以認為達到了小康水平,但我們在來看一下數(shù)據(jù),有99.5%的人均收入低于2000千,所以單從人均收入來衡量是不科學的,那么在概率論中我們利用人均年收入的標準差a來衡量這個標準。
我們可以看出標準差是平均水平的六倍多,標準差系數(shù)竟超過100%,所以我們不能把該村看作是達到了小康水平。因此我們要真正的把高等數(shù)學融入到實際應用當中是我們高確良等教育的一個重點要改革的內(nèi)容。為了在概念的引入中展現(xiàn)數(shù)學建模,首先必須提出具有實際背景的引例。下面我們就以高等數(shù)學中導數(shù)這一概念為例加以說明。
�。�1）引例
模型I:變速直線運動的瞬時速度
1、提出問題:設(shè)有一物體在作變速運動,如何求它在任一時刻的瞬時速度?
2、建立模型
分析:我們原來只學過求勻速運動在某一時刻的速度公式:S=vt那么,對于變速問題,我們該如何解決呢?師生討論:由于變速運動的速度通常是連續(xù)變化的,所以當時間變化很小時,可以近似當勻速運動來對待。假設(shè):設(shè)一物體作變速直線運動,以它的運動直線為數(shù)軸,則在物體的運動過程中,對于每一時刻t,物體的相應位置可以用數(shù)軸上的一個坐標S表示,即S與t之間存在函數(shù)關(guān)系:s=s(t)。稱其為位移函數(shù)。設(shè)在t0時刻物體的位置為S=s(t0)。當在t0時刻,給時間增加了△t,物體的位置變?yōu)镾=(t0+△t):此時位移改變了△S=S(t0+△t)-S(t0)。于是,物體在t0到t0+△t這段時間內(nèi)的平均速度為：v=當△t很小時,v可作為物體在t0時刻瞬時速度的近似值。且當—△t—越小,v就越接近物體在t0時刻的瞬時速度v,即vt0=[(1)式]；
(1)即為己知物體運動的位移函數(shù)s=s(t),求物體運動到任一時刻t0時的瞬時速度的數(shù)學模型。
模型II:非恒定電流的電流強度。己知從0到t這段時間流過導體橫截面的電量為Q=Q(t),求在t0時刻通過導體的電流強度?通過對此模型的分析,同學們發(fā)現(xiàn)建立模型II的方法步驟與模型I完全相同,從而采用與模型I類似的方法,建立的數(shù)學模型為:It0=要求解這兩個模型,對于簡單的函數(shù)還容易計算,但對于復雜的函數(shù),求極限很難求出。為了求解這
兩個模型,我們拋開它們的實際意義單從數(shù)學結(jié)構(gòu)上看,卻具有完全相同的形式,可歸結(jié)為同一個數(shù)學模型,即求函數(shù)改變量與自變量改變量比值,當自變量改變量趨近于零時的極限值。在自然科學和經(jīng)濟活動中也有很多問題也可歸結(jié)為這樣的數(shù)學模型,為此,我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導數(shù)。
�。�2）導數(shù)的概念
定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義,當自變量x在x0處有增量△x時,函數(shù)有相應的增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果當△x→0時△y△x的極限存在，這個極限值就叫做函數(shù)y=f(x)在x0點的導數(shù)。即函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,記作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=。有了導數(shù)的定義,前面兩個問題可以重述為:(1)變速直線運動在時刻t0的瞬時速度,就是位移函數(shù)S=S(t)在t0處對時間t的導數(shù)。即vt0=S′(t0)。(2)非恒定電流在時刻t0的電流強度,是電量函數(shù)Q=Q(t)在t0處對時間t的導數(shù)。即It0=Q′(t0)。
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導,稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導。這時,對于(a,b)中的每一個確定的x值,對應著一個確定的導數(shù)值f′(x),這樣就確定了一個新的函數(shù),此函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),記作y′或f′(x),導函數(shù)簡稱導數(shù)。顯然,y=f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0),就是導函數(shù)f′(x)在點x0處的函數(shù)值。由導函數(shù)的定義,我們可以推導出一系列的求導公式,求導法則。(略)有了求導公式,求導法則后,我們再反回去求解前面的模型就容易得多�，F(xiàn)在我們就返回去接著前面模型I的建模步驟。
3、求解模型:我們就以自由落體運動為例來求解。設(shè)它的位移函數(shù)為s=gt2，求它在2秒末的瞬時速度？由導數(shù)定義可知：v(2)=S′(2)=*2gtlt=2=2tg
4、模型檢驗:上面所求結(jié)果與高中物理上所求得的結(jié)果一致。從而驗證了前面所建立模型的正確性。
5、模型的推廣:前面兩個模型的實質(zhì),就是函數(shù)在某點的瞬時變化率。由此可以推廣為:求函數(shù)在某一點的變化率問題都可以直接用導數(shù)來解,而不須像前面那樣重復建立模型。除了在概念教學中可以浸透數(shù)學建模的思想和方法外,還可以在習題教學中浸透這種思想和方法。在這里就不一一列舉。
通過數(shù)學建模的思想引入高等數(shù)學的教學中,其主要目的是通過數(shù)學建模的過程來使學生進一步熟悉基本的教學內(nèi)容,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和科研意識,提高學生應用數(shù)學解決實際問題的思想和方法。
參考文獻：
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