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離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法與實踐論文
摘要：離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，它在計算機(jī)科學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用背景。因此，如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平和質(zhì)量，對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和今后的科學(xué)研究均具有現(xiàn)實意義。
關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；教學(xué)改革；教學(xué)方法
0 引言
《離散數(shù)學(xué)》是計算機(jī)科學(xué)中重要的基礎(chǔ)理論課程之一，它不僅是許多計算機(jī)專業(yè)課的必備基礎(chǔ)，而且對培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。但這門課程具有概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象等特點(diǎn)，這無疑給教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的難度。因此，如何提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，對于計算機(jī)相關(guān)專業(yè)學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及提高學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力都具有現(xiàn)實的意義。本文結(jié)合作者近年來從事離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實際，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段等方面進(jìn)行了一些初步探討。
1 提高學(xué)生對《離散數(shù)學(xué)》的認(rèn)識，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性
學(xué)生在學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)時，往往看不到它在計算機(jī)科學(xué)中的具體應(yīng)用，認(rèn)為該課程對計算機(jī)科學(xué)的作用不大，因而不重視離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)興趣不高，學(xué)習(xí)效果不甚理想“興趣是最好的老師”，因此，在上第一堂課時，教師就應(yīng)該給學(xué)生介紹離散數(shù)學(xué)的重要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣事實上，計算機(jī)學(xué)科的發(fā)展近年來與離散數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容如數(shù)理邏輯、抽象代數(shù)和圖論等有非常緊密的聯(lián)系 隨著計算機(jī)科學(xué)的快速發(fā)展，進(jìn)行該學(xué)科相關(guān)的研究與開發(fā)的起點(diǎn)在不斷提高，無論學(xué)生今后從事理論研究，還是應(yīng)用開發(fā)或者是技術(shù)管理工作，都應(yīng)該具有堅實的理論基礎(chǔ)，才能適應(yīng)學(xué)科迅速發(fā)展和知識更新的需要。當(dāng)今計算機(jī)科學(xué)界的權(quán)威人士很多都是研究離散數(shù)學(xué)出身的。美國的軟件之所以能領(lǐng)先，其關(guān)鍵就在于在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上他們有很強(qiáng)的實力，有很多杰出的人才，而我國的信息技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)十分薄弱，這個問題不解決，我們就難成為軟件強(qiáng)國 計算機(jī)領(lǐng)域最負(fù)盛名、最崇高的一個獎項是圖靈獎，具有“計算機(jī)界的諾貝爾獎”之稱。圖靈是一位英國的數(shù)學(xué)家的名字，他所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)模型一一圖靈機(jī)（離散數(shù)學(xué)內(nèi)容之一）。在可計算性理論中起著重要作用，為計算機(jī)的誕生奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。為了紀(jì)念他對計算機(jī)科學(xué)所做的貢獻(xiàn)，國際上用他的名字來命名這個獎項。著名的計算機(jī)軟件大師狄克斯特（Dijkstra）曾經(jīng)說過：“我現(xiàn)在年紀(jì)大了，搞了這么多年軟件，錯誤不知犯了多少，現(xiàn)在覺悟了。我想假如我早年在數(shù)理邏輯上好好下點(diǎn)功夫的話，我就不會犯這么多的錯誤。不少東西邏輯學(xué)家早就說了，可我不知道 要是我能年輕20歲。我要回去學(xué)邏輯 ”由此可見離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)學(xué)科中的重要作用。
2 教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)化
《離散數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)內(nèi)容一般包括四個部分：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論。這四部分內(nèi)容中每一個部分都可以是一門獨(dú)立的課程，它們分別作為《離散數(shù)學(xué)》課程的一部分，容易造成教學(xué)內(nèi)容繁多與教學(xué)課時數(shù)偏少相矛盾，使教學(xué)過程具有很大的難度。如果這幾部分的內(nèi)容都要詳細(xì)講授，時間上來不及。所以在在教學(xué)過程中對講授內(nèi)容的設(shè)置上應(yīng)當(dāng)有所側(cè)重，比如學(xué)生對集合論基礎(chǔ)的很多內(nèi)容在中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)有所了解，所以這部分內(nèi)容只需要簡要介紹一下，重點(diǎn)放在用集臺論的方法解決實際應(yīng)用問題上。對于二元關(guān)系這部分，側(cè)重點(diǎn)是加強(qiáng)對與二元關(guān)系的幾個性質(zhì)相關(guān)問題的論證方法的訓(xùn)練。在數(shù)理邏輯上通過將一般命題公式和一階邏輯公式化成范式，達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生邏輯演算能力，并通過邏輯推理理論的學(xué)習(xí)來提高邏輯推理能力。圖論部分重點(diǎn)放在基本概念的理解和實際問題的處理上，通過對相關(guān)定理及其證明思路的理解來體會圖論的研究方法。代數(shù)系統(tǒng)這部分內(nèi)容重點(diǎn)放在群論上，尤其要在代數(shù)系統(tǒng)、群、子群、循環(huán)群、變換群、正規(guī)子群的概念及相關(guān)問題的理解上下功夫，特別要掌握同構(gòu)和同態(tài)的概念及應(yīng)用，對于其它的代數(shù)系統(tǒng)如環(huán)、域及布爾代數(shù)則可以略講。
另外，現(xiàn)行大多數(shù)教材，主要是集中在從純數(shù)學(xué)理論角度教授基本內(nèi)容，這也是不利于學(xué)生的理解學(xué)習(xí)的。如果選擇了這種教材，在教學(xué)過程中，應(yīng)穿插介紹一些知識點(diǎn)在計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，將之與離散數(shù)學(xué)理論結(jié)合介紹給學(xué)生，使學(xué)生重視這一課程的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，主動地進(jìn)行學(xué)習(xí)。這將有利于學(xué)生理解理論知識，又為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
3 教學(xué)方法實踐
3.1 注重理論的理解。推行研究型教學(xué)
離散數(shù)學(xué)中有很多定義、定理、規(guī)則，幾乎每一節(jié)課堂上少則十幾個多則幾十個新的術(shù)語或定理，很多學(xué)生由于習(xí)慣于背誦的方式來掌握概念，很容易產(chǎn)生枯燥甚至畏難情緒。在教學(xué)過程中，我們要注重對于問題的完整理解過程，而不是只告訴學(xué)生結(jié)論。因此，很多概念、定理都不用死記硬背，只需要理解，這樣才能掌握得更牢。
比如，在一階邏輯中有八個關(guān)于量詞作用域里的擴(kuò)張與收縮公式，學(xué)生剛開始看到這些公式時，可能會覺得太難記了。那么就需要把證明的方法告訴他們，掌握公式的來龍去脈。其實只有以下兩個公式是相對特殊的，需要轉(zhuǎn)換量詞形式的：
�。ǎˋ x）A（x） →B）甘（3 x）（A（x）→B）
�。ǎ�3 x）A（x） →xB）{ （A x）（A（x）→B）
這兩個公式可以在有限個體域中采用量詞消去法把其中一個公式證明給學(xué)生看，其它幾個公式要求學(xué)生課后采用類似的方法自己動手證明，既可以節(jié)省時間，又可以加深學(xué)生對公式的理解。
因此，需要把過去習(xí)慣的填鴨式教學(xué)轉(zhuǎn)換為研究型教學(xué)，通過對典型問題的描述分析和解決，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)研究為本的學(xué)習(xí)。對課程、對問題要多問幾個為什么，挖掘深層的東西，要有意識地去培養(yǎng)學(xué)生踏實的科學(xué)態(tài)度。
3.2 理論聯(lián)系實際
離散數(shù)學(xué)這門課內(nèi)容比較難，而且相對枯燥，特別是該課程的結(jié)構(gòu)較為松散，內(nèi)容雜，學(xué)生難以接受。因此。在講解清楚各種基本概念、定理、定理證明、計算方法等基本內(nèi)容之外，還應(yīng)多舉一些具有代表性的例子，以加深學(xué)生對知識的理解，并能隨時介紹所學(xué)知識的應(yīng)用背景和發(fā)展方向，使學(xué)生能感覺到這門課程的必要性，調(diào)動學(xué)生的積極性。例如在講授平面圖時，可以給出它們在印刷電路板、集成電路等方面的應(yīng)用。
另外，如果講課時能結(jié)合一些輕松的故事，也可減輕學(xué)習(xí)的壓力。比如離散數(shù)學(xué)中哥尼斯堡七橋問題、著名的蘇哥拉底三段論、土耳其商人和帽子的故事、一筆畫問題、地圖染色問題等等。但對于這些問題的介紹不能停留在故事的趣味性上，應(yīng)當(dāng)從故事人手，提出有思考性的問題，再促進(jìn)和啟發(fā)學(xué)生思維的積極性，這樣就能達(dá)到較好的效果。
3.3 具體與抽象相結(jié)合。
離散數(shù)學(xué)中的許多概念都很抽象，如果直接給出定義，學(xué)生往往難以理解。如果能從實際的例子出發(fā)，再抽象出基本概念，使得學(xué)生對這些概念有更深刻的理解。
例如“二元關(guān)系”，可以舉一個家庭成員之間的關(guān)系的例子：假設(shè)某家庭有父母兄弟四位成員，在家庭成員這個集合上，常見的二元關(guān)系有父子關(guān)系、母子關(guān)系、兄弟關(guān)系、夫妻關(guān)系等，然后以數(shù)學(xué)符號的形式表示出來，最后再把二元關(guān)系的數(shù)學(xué)定義告訴學(xué)生。這樣學(xué)生對“二元關(guān)系”這個概念就有比較清楚的認(rèn)識了。又如在講解“群”的概念時，可以先給出具體一個代數(shù)系統(tǒng)，如（Z，+），然后得出該代數(shù)系統(tǒng)滿足群的三個條件：結(jié)合律、存在幺元和每個元素有逆元，從而引出群的定義。
3.4 注重歸納與小結(jié)
離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容雖然多且散，但通過歸納，可以用一條主線貫穿始終，這就是離散數(shù)學(xué)討論的內(nèi)容大多包含兩個方面：研究一個系統(tǒng)中涉及到的靜態(tài)（基本概念）與動態(tài)（運(yùn)算、操作、推理）。如集合論中是元素（靜態(tài)）及其上的運(yùn)算（動態(tài)）；代數(shù)系統(tǒng)中是集合（靜態(tài)）及運(yùn)算（動態(tài)）；數(shù)理邏輯中是公式（靜態(tài)）和推理（動態(tài)）。通過歸納總結(jié)，學(xué)生能夠理清頭緒，提高學(xué)習(xí)效率。
在講課時，應(yīng)該把重點(diǎn)、難點(diǎn)精講細(xì)講，對于易懂的內(nèi)容可以點(diǎn)到為止。此外還要經(jīng)常歸納小結(jié)，尤其對于一些抽象的和難以記憶的重要知識點(diǎn)，更應(yīng)該輔以有針對性的歸納總結(jié)。比如在講完代數(shù)系統(tǒng)這部分內(nèi)容時，可按照代數(shù)系統(tǒng)、半群、含幺半群、群的順序依次闡述這幾個概念，均是在前一個概念的基礎(chǔ)上增加一個性質(zhì)（封閉性、結(jié)合性、幺元、逆元），最后用圖示的方式進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生更容易掌握這幾個容易混淆的概念。
4 教學(xué)手段改革
4.1 建設(shè)網(wǎng)絡(luò)課件。注重教學(xué)的互動性
隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與普及，在教學(xué)過程中引入網(wǎng)絡(luò)課件已逐漸成為一種時尚。離散數(shù)學(xué)有很多定義、定理、性質(zhì)等都是比較抽象的內(nèi)容，如果在教學(xué)的過程中，就概念講概念，就結(jié)論講結(jié)論，學(xué)生將難予接受。如果能利用網(wǎng)絡(luò)課件信息量大、生動有趣的特點(diǎn)，將概念、理論提出的背景以及在計算機(jī)技術(shù)中的應(yīng)用介紹給學(xué)生，勢必會加深學(xué)生對概念、理論的理解，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的積極性。在離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課件中，可以集成電子講稿、作業(yè)、答疑、討論、考試、試題庫、網(wǎng)絡(luò)資源、學(xué)習(xí)跟蹤分析、管理等，極大地改變離散數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題，為學(xué)生提供了豐富多彩的網(wǎng)上教學(xué)資源�？梢栽谡n堂教學(xué)的引導(dǎo)下，充分利用網(wǎng)絡(luò)課件的特點(diǎn)讓師生參與討論，調(diào)動學(xué)生的主動性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析問題，讓他們能夠自由地、充分地、廣泛地進(jìn)行討論，從而達(dá)到解決問題的目的。
網(wǎng)絡(luò)課件的電子講稿是教師上課和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要資源，因此網(wǎng)絡(luò)課件的建設(shè)一定要注重電子講稿的質(zhì)量。電子講稿要盡量使用具體形象的媒體展示給同學(xué)。使其能從中體驗形象與抽象的關(guān)系。在制作幻燈片畫面時。要注意目標(biāo)明確，使常規(guī)教學(xué)中要求的基本技能、重要的思想方法、運(yùn)算能力和分析問題解決問題的能力盡量反映在課件中，各個幻燈片的連接注意銜接合理、自然。利用人工控制時間，使其變化有序，避免給學(xué)生產(chǎn)生黑板搬家的感覺。
當(dāng)然，筆者認(rèn)為離散數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課件并不能完全取代傳統(tǒng)的教學(xué)方式。僅僅是利用計算機(jī)進(jìn)行輔助教學(xué)，它還不能完全代替“黑板、粉筆”方式的教學(xué)。教師完全可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，在教學(xué)過程中靈活、適當(dāng)?shù)貞?yīng)用黑板與粉筆，以起到其特有的點(diǎn)睛效果。例如對一些邏輯性較強(qiáng)，難以理解的需要推理、證明的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該使用傳統(tǒng)的授課方式進(jìn)行教學(xué)。只有采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式與現(xiàn)代多媒體教學(xué)方式相結(jié)合的辦法，才能實現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化。
4.2 重視學(xué)生作業(yè)，定時測驗
大學(xué)擴(kuò)招以后，很多教師課時量都比較飽滿，批閱作業(yè)的時間相對較少，有些教師甚至因此不布置作業(yè)或不批閱作業(yè)，這樣顯然是不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。離散數(shù)學(xué)的知識不經(jīng)過學(xué)生的獨(dú)立思考和多做練習(xí)是無法牢固掌握的，因此一定要給學(xué)生留一定數(shù)量的課后習(xí)題。但大部分學(xué)生不可能把課本上的習(xí)題全部做完，教師也不可能完全批閱。這就要求教師布置作業(yè)要選其精華，選題必須要有一定的深度和廣度，要覆蓋所學(xué)的內(nèi)容，盡量選有啟發(fā)性質(zhì)的習(xí)題。對于學(xué)生的作業(yè)，要認(rèn)真仔細(xì)批改，將作業(yè)中暴露出來的普遍問題，要進(jìn)行課堂講評。通過講評作業(yè)，幫助學(xué)生澄清模糊和錯誤的認(rèn)識。
另外，為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，克服學(xué)生的學(xué)習(xí)惰性，除了布置作業(yè)外，可以在講完每一部分內(nèi)容之后進(jìn)行課堂測驗，給學(xué)生施加一定的學(xué)習(xí)壓力，把測驗成績作為平時成績的一部分，讓學(xué)生能及時地對學(xué)過的內(nèi)容進(jìn)行歸納、總結(jié)。由于時間關(guān)系，測驗時所選的習(xí)題數(shù)量不宜過多，盡量做到少而精，具備綜合性、典型性等特點(diǎn)。其次，要難度適中。例如在數(shù)理邏輯部分的測驗中，可分別從命題符號化、公式類型判斷、主析取范式、前束范式、邏輯推理等方面進(jìn)行選題，共五道題左右，其中重點(diǎn)突出符號化與推理理論，力求以點(diǎn)帶面，考察學(xué)生對所學(xué)知識的理解程度
4.3 考試改革
筆者認(rèn)為離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個重要環(huán)節(jié)是考試方法改革，實行教考分離。學(xué)生的考核成績由平時成績和考試成績按一定比例組成，任課教師掌握平時成績的評定，考試則實行教考分離，任課教師事先不知道考試題目，但可以與命題教師一起討論命題范圍、難度及題型。實行教考分離能進(jìn)一步激發(fā)教師的教學(xué)熱情和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，對調(diào)動教與學(xué)的積極性是有促進(jìn)作用的，同時也提高了考核的科學(xué)性。
5 結(jié)束語
總之，要把離散數(shù)學(xué)這一門課教好，教師就要不斷研究新的教學(xué)方法，認(rèn)真掌握教學(xué)規(guī)律，借助于現(xiàn)代化教學(xué)手段，摒棄“填鴨式”教學(xué)，提倡“啟發(fā)”式教學(xué)。教師只要具有扎實的理論功底，并具有對學(xué)生高度負(fù)責(zé)的精神，就一定能夠找到較好的方法調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而達(dá)到良好的教學(xué)效果。
參考文獻(xiàn)：
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