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20 世紀(jì)的邏輯哲學(xué)與數(shù)學(xué)哲學(xué)研究論文
一、邏輯、數(shù)學(xué)與哲學(xué)
20 世紀(jì)，邏輯和數(shù)學(xué)在人類的知識探索活動中占據(jù)著基礎(chǔ)和核心的地位，發(fā)揮著獨(dú)特而重要的作用。數(shù)學(xué)是我們知識獲求中最核心的部分，幾乎在所有科學(xué)探索領(lǐng)域中它都扮演著重要的角色，幾乎所有的自然科學(xué)和社會科學(xué)都實(shí)質(zhì)性地預(yù)設(shè)了數(shù)學(xué)知識。與此同時(shí)，作為純理智反思程序的邏輯同樣在科學(xué)進(jìn)步中發(fā)揮著重要作用，因?yàn)樽C據(jù)和假說之間的關(guān)系對于科學(xué)的進(jìn)步是一個(gè)根本性的問題，而這又可看作是前提和結(jié)論之間的關(guān)系———一種邏輯的核心關(guān)系。從這種意義上說，邏輯作為整個(gè)科學(xué)事業(yè)的基礎(chǔ)也是毋庸置疑的。
從邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系看，數(shù)學(xué)是一門典型的演繹科學(xué)，因而屬于邏輯的范圍; 而邏輯是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一部分，邏輯反映了數(shù)學(xué)的演繹實(shí)踐，邏輯被數(shù)學(xué)所塑造，因而邏輯又屬于一門數(shù)學(xué)學(xué)科，我們?nèi)绾慰创龜?shù)學(xué)和如何看待邏輯這兩個(gè)問題是相互交織在一起的。
邏輯和數(shù)學(xué)作為特定類型知識的典范，作為哲學(xué)反思的對象，又與哲學(xué)密切地聯(lián)系在一起，產(chǎn)生出獨(dú)具特色的邏輯—數(shù)學(xué)哲學(xué)問題。與其他的科學(xué)分支不同，數(shù)學(xué)是關(guān)于諸如數(shù)、集合和函數(shù)等數(shù)學(xué)實(shí)體，以及它們的結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究。邏輯是關(guān)于命題和真的理論，數(shù)學(xué)和邏輯的對象都是抽象的，尤其是數(shù)學(xué)對象，它們不占據(jù)時(shí)空位置，不具有因果作用。更進(jìn)一步地說，數(shù)學(xué)和邏輯似乎是通過演繹證明的先驗(yàn)方式運(yùn)作的，其他科學(xué)似乎是通過實(shí)驗(yàn)和歸納的后驗(yàn)方法運(yùn)作的。與科學(xué)其余分支的知識是可錯的相比，數(shù)學(xué)和邏輯的知識幾乎是不可錯的。一旦一個(gè)邏輯—數(shù)學(xué)定理被證明了，它似乎就永遠(yuǎn)被證明了。它們沒有經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，也不像物理學(xué)家那樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和制定假說。數(shù)學(xué)家創(chuàng)造語言，而物理學(xué)家使用數(shù)學(xué)語言描述他們的假設(shè)，以及以數(shù)學(xué)為工具探討它們的邏輯后承。但是最終的物理理論必須假定被經(jīng)驗(yàn)事實(shí)所支持。
20 世紀(jì)，邏輯、數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系異常緊密。邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家經(jīng)常肩并肩地工作，他們彼此閱讀各自的著作，出席對方的會議，討論相互之間的問題。富有意義的是，在 20世紀(jì)，邏輯和數(shù)學(xué)的主要人物———弗雷格、羅素、維特根斯坦、布勞維爾、龐加萊、希爾伯特、哥德爾、塔斯基、卡爾納普和奎因———所有的都從邏輯或者數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)到哲學(xué)。
邏輯生長于哲學(xué)的懷抱，哲學(xué)撫育了邏輯，邏輯又反哺于哲學(xué)。邏輯給哲學(xué)帶來了精湛的分析技術(shù)和豐富有效的思想資源，邏輯幾乎影響了整個(gè)語言哲學(xué)的風(fēng)格，邏輯提供了各種形而上學(xué)發(fā)展的基本框架、邏輯也為元倫理學(xué)和心智哲學(xué)提供了方法論指南。另一方面，邏輯也受哲學(xué)的制約，邏輯依賴于哲學(xué)的基本預(yù)設(shè)，經(jīng)典邏輯和各種非經(jīng)典系統(tǒng)都有深刻的形而上學(xué)背景。
對數(shù)學(xué)而言，通過接受一種數(shù)學(xué)哲學(xué)，數(shù)學(xué)家們從而獲得了一種類似于價(jià)值系統(tǒng)之類的東西: 研究工作的取向，關(guān)于數(shù)學(xué)的作用和價(jià)值的判斷，關(guān)于數(shù)學(xué)的發(fā)展方向的引導(dǎo)，何種問題是重要的，何種問題應(yīng)當(dāng)被提出，何種方法論是合理的，等等。另一方面，當(dāng)代數(shù)學(xué)也為哲學(xué)提供了豐富的數(shù)學(xué)形而上學(xué)、本體論、認(rèn)識論、語義學(xué)和邏輯方法論的內(nèi)容。數(shù)學(xué)這顆科學(xué)的皇冠因數(shù)學(xué)哲學(xué)而變得更為璀璨。
在當(dāng)代，越來越多的哲學(xué)研究生教育不僅僅開始于柏拉圖和亞里士多德著作的閱讀，而且也開始于命題和謂詞演算以及數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本訓(xùn)練。早先學(xué)生們闡釋真理概念的精微玄妙，現(xiàn)在則受訓(xùn)于塔斯基式的真理概念的公理化熏陶。專題討論會和會話被真值表和語言的邏輯分析，以及 19 世紀(jì)后期德國科學(xué)哲學(xué)的著作所取代。邏輯和數(shù)學(xué)的這種壓倒性影響的結(jié)果是哲學(xué)的論證在一個(gè)高度技術(shù)復(fù)雜性上運(yùn)行。那些過去曾經(jīng)直接從哲學(xué)史中獲得問題的人如今發(fā)現(xiàn)，如果他們要有效地參加哲學(xué)討論必須掌握復(fù)雜的數(shù)理邏輯的技術(shù)和語義分析的方法。
總之，20 世紀(jì)的眾多哲學(xué)學(xué)科———如形而上學(xué)、認(rèn)識論、數(shù)學(xué)哲學(xué)、科學(xué)哲學(xué)，以及心智哲學(xué)、語言哲學(xué)和形式語義學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步與這一世紀(jì)的數(shù)學(xué)與邏輯發(fā)展相向而行。其結(jié)果轉(zhuǎn)而又拓寬了數(shù)學(xué)和邏輯的研究領(lǐng)域，深化了對數(shù)學(xué)和邏輯的應(yīng)用和范圍的理解。最終，邏輯和數(shù)學(xué)提供了諸如局限性定理等一批深刻而基本的理論結(jié)果，這些結(jié)果又給哲學(xué)，尤其是哲學(xué)中的認(rèn)識論和心智哲學(xué)一深刻的影響。但是，與邏輯、數(shù)學(xué)和哲學(xué)的互動性活動相比較，關(guān)于邏輯哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本問題依然是出奇的穩(wěn)定。它們主要涉及: 什么是真理的性質(zhì)? 什么是證明的性質(zhì)? 什么是概念的性質(zhì)? 什么是有效推理的性質(zhì)? 除此之外，它們還包括:
( 1) 本體論問題: 數(shù)學(xué)和邏輯的研究對象是什么? 數(shù)、集合、點(diǎn)、線、函數(shù)、命題、量詞和變元等代表什么? 如果數(shù)學(xué)對象存在，它們是否獨(dú)立于數(shù)學(xué)家們的觀念，獨(dú)立于他們的語言等而存在? 什么應(yīng)被看作是影響數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，實(shí)體等的存在證明的條件等? 在何種程度上數(shù)學(xué)的原理是客觀的和獨(dú)立于心智、語言和數(shù)學(xué)家的社會結(jié)構(gòu)的?
( 2) 語義學(xué)問題: 數(shù)學(xué)和邏輯概念和陳述的涵義是什么? 邏輯和數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)是什么?什么是數(shù)學(xué)語言的最好的語義學(xué)?
( 3) 認(rèn)識論問題: 數(shù)學(xué)和邏輯知識是如何被認(rèn)識的? 它的方法是什么? 有觀察因素在其中起作用嗎? 如何裁決數(shù)學(xué)家之間和邏輯學(xué)家之間的爭論? 什么是證明? 證明是絕對確定的、不受理性懷疑的嗎? 數(shù)學(xué)的邏輯是什么? 存在不可知的數(shù)學(xué)真理嗎?
( 4) 邏輯問題: 什么是數(shù)學(xué)的邏輯? 什么是數(shù)學(xué)斷定的邏輯形式? 什么是邏輯的有效性?哪種邏輯后承的概念是邏輯和數(shù)學(xué)所需要的? 什么是有效的可計(jì)算性? 什么是集合? 什么是集合的基本性質(zhì)?
( 5) 應(yīng)用問題: 什么是數(shù)學(xué)和邏輯對其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用? 如何能夠?yàn)楫?dāng)代科學(xué)構(gòu)造一種多類型的數(shù)學(xué)邏輯工具 ( 如模型的、系統(tǒng)的、語言的) ? 在不同類型的文化社會和經(jīng)濟(jì)中數(shù)學(xué)和邏輯的角色是什么?
二、數(shù)學(xué)的限度: 限制性定理的哲學(xué)解釋
20 世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展主要涉及數(shù)學(xué)定理的證明，提出新的數(shù)學(xué)理論，以及為實(shí)現(xiàn)理論尋找公理。但是，也存在著關(guān)于數(shù)學(xué)理論本身的一些重要問題。例如，關(guān)于是否一特定的數(shù)學(xué)理論是一致的，是否一種數(shù)學(xué)理論有能力回答它應(yīng)當(dāng)回答的任何問題，即我們希望表明對任意的數(shù)學(xué)陳述，相關(guān)的數(shù)學(xué)理論能夠證明它或者證明它的否定。關(guān)于這類涉及一致性的高階問題又稱為元數(shù)學(xué)或元邏輯。毫不奇怪，這也是哲學(xué)家們高度感興趣的一個(gè)領(lǐng)域。特別是，按照若干關(guān)鍵性結(jié)果，數(shù)學(xué)能夠做什么是有限度的。這些結(jié)果就其本身而言就是十分有趣而重要的，它們也被認(rèn)為有一種數(shù)學(xué)哲學(xué)的意義，甚至超越數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)入到心智哲學(xué)及形而上學(xué)的領(lǐng)域。
第一個(gè)限制性結(jié)果來自集合論，被稱為雷文海姆—斯科倫定理。1915 年，德國數(shù)學(xué)家雷文海姆證明了一個(gè)著名的結(jié)果: 如果一個(gè)一階語句有模型，它有一個(gè)可數(shù)模型。1922 年挪威數(shù)學(xué)家斯科倫將這一結(jié)果推廣到一階語句的系統(tǒng)。在這些結(jié)果中最值得注意的是它們似乎公然與康托的集合論相抵觸。雷文海姆—斯科倫定理告訴我們，我們并不需要某些超出可數(shù)性的無窮。特別是存在著實(shí)數(shù)和集合論的可數(shù)模型。這似乎與康托的理論相沖突。這一結(jié)果的哲學(xué)意義在于它涉及人類刻畫和交流各類觀點(diǎn)的能力。這些觀點(diǎn)包括自然數(shù)、實(shí)數(shù)、集合，甚至基數(shù)。我們有關(guān)于這些概念的確定而不含混的概念嗎? 如果有，我們是如何把握這些概念的，并且我們又是如何與他人討論這些概念的? 雷文海姆—斯科倫定理暗示我們: 關(guān)于這些概念和對象所說的任何東西都可翻譯到一個(gè)理論中，而后者有著非預(yù)期的解釋。那么我們?nèi)绾文艽_定其他人理解的是我們想要他們理解的東西? 我們又是如何知道我們自己對這些事項(xiàng)有著毫不含糊的概念呢? 斯科倫本人把這一結(jié)果解讀為，從根本上說所有的數(shù)學(xué)觀念都是 “相對的”，即不存在絕對和客觀意義上的自然數(shù)和基數(shù)，它們只是相對于某些論域或模型。當(dāng)代哲學(xué)家普特南以這些和數(shù)理邏輯的其他結(jié)果為基礎(chǔ)，論證了一種意義深遠(yuǎn)的反實(shí)在論的相對性，因?yàn)檫@種觀點(diǎn)蘊(yùn)涵著: 如算術(shù)或?qū)嵎治鲞@樣給定的數(shù)學(xué)理論并沒有一個(gè)確定的研究對象，因此數(shù)學(xué)詞項(xiàng)沒有固定的指稱。
第二個(gè)富有哲學(xué)意義的成果是集合論中大量的獨(dú)立性結(jié)果。一個(gè)理論的獨(dú)立性問題是一個(gè)不可能給出肯定或者否定的回答的問題。這一不確定性不僅僅是認(rèn)識論的問題。它并不是目前對所考慮的問題的答案無所知曉，寧可說，這類問題本身對相關(guān)的數(shù)學(xué)理論而言是完全開放的。數(shù)學(xué)中有許多這類問題。但最著名的例子是連續(xù)統(tǒng)問題: 實(shí)數(shù)集合的基數(shù)是什么? 策梅洛—富蘭克林集合論加選擇公理被認(rèn)為是最強(qiáng)大的數(shù)學(xué)理論�？墒菙�(shù)學(xué)家已經(jīng)證明很多重要的數(shù)學(xué)問題不能由ZFC 的公理集合論所判定。這中間最著名的就是康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。根據(jù) ZFC，實(shí)數(shù)比自然數(shù)多是集合論中的定理，而連續(xù)統(tǒng)假設(shè)斷言的是，不存在無窮的基數(shù)嚴(yán)格地處在這兩個(gè)尺度之間，即沒有一個(gè)既大于自然數(shù)的集合同時(shí)又嚴(yán)格的小于實(shí)數(shù)的集合。
這里我們有一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)的非常重要又自然的問題，即什么是實(shí)數(shù)的基數(shù)? 即便是對最好的數(shù)學(xué)理論而言，這也是一個(gè)難以回答的問題。這里存在著若干選擇: 一是為了能夠回答這類問題，相關(guān)的理論需有待于進(jìn)一步豐富; 二是數(shù)學(xué)中存在著一些開放性問題，并且放棄所有有意義的數(shù)學(xué)問題都是有答案的想法。人們發(fā)現(xiàn)，無論是哪一種選擇，最終數(shù)學(xué)家們還是陷入關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)在論和反實(shí)在論的爭論之中。
第三個(gè)例子是哥德爾著名的不完全性定理。該定理證明 ( 第一不完全性定理) 希爾伯特綱領(lǐng)是行不通的。哥德爾用有限理論證明如果一個(gè)形式系統(tǒng) S 能表達(dá)算術(shù)的一致性，那么在 S 的形式語言中存在著一個(gè)命題 G，這一命題或其否定形式在 S 中是不可證的。 ( G 是這樣被構(gòu)造的:它可以這樣說明自身，即它是不可證明的。) 他進(jìn)一步指出 ( 第二不完全性定理) ，如果系統(tǒng) S能夠通過有限的方法證明是一致的，那么系統(tǒng) S 就會產(chǎn)生不一致。因?yàn)榭梢宰C明在系統(tǒng)中 “存在著命題 G 在 S 中是不可能證明的”。因?yàn)?G 是命題 “G 在 S 中不可證”的形式表達(dá)。因此，這又是 G 的一種證明。這樣 ( 根據(jù)第一不完全性定理) S 是不一致的。
這一證明的關(guān)鍵在于用數(shù)對形式語言符號進(jìn)行編碼。這樣，公式和證明作為有限的符號和結(jié)構(gòu)，也能用以下方式加以編碼; 它們的符號性質(zhì)與它們的數(shù)學(xué)對應(yīng)物的算術(shù)性質(zhì)相對應(yīng)。形式語言的有關(guān)命題就轉(zhuǎn)化為數(shù)的命題，這就允許符號系統(tǒng)有雙重解釋。我們在談?wù)撁}自身的同時(shí)，也可以談?wù)摂?shù)的巨大潛在的應(yīng)用能力。這一思想揭示了作為符號和其他結(jié)構(gòu)的編碼，數(shù)字具有極大的潛力。這一結(jié)果導(dǎo)致了數(shù)字電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展。就希爾伯特的方案而言，不完全性定理意味著希爾伯特所要求的一致性證明只有在數(shù)學(xué)是不一致的情況下才有可能。
在某種程度上，關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的某些問題也劃歸在這類問題之中。一數(shù)學(xué)定理告訴我們在科學(xué)中被研究的自然世界的何種事實(shí)? 在何種程度上我們能夠證明結(jié)點(diǎn)、橋梁穩(wěn)定性、象棋殘局以及經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢? 一些哲學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)是某種符號游戲。但們都認(rèn)為數(shù)學(xué)是有某種類型的意義的。這意義是什么? 它與普通的非數(shù)學(xué)話語的意義是如何相聯(lián)系的。數(shù)學(xué)定理能夠告訴關(guān)于我們物理世界，關(guān)于人類的可知性，關(guān)于程序計(jì)算機(jī)的原則能力的什么內(nèi)容?
三、邏輯主義的失敗———是語義學(xué)問題還是概念的錯位?
邏輯主義是基礎(chǔ)主義的一種表現(xiàn)，基礎(chǔ)主義又是還原主義的一種形式。還原主義尋求的是一種知識領(lǐng)域的等級次序。在這種次序中，所有的知識建立在一些基本的第一原理上，從這些基本的第一原理出發(fā)，推出整個(gè)的知識體系，因而也就能夠合理的證明這一系統(tǒng)。因此整個(gè)知識的狀況問題也就集中在這些第一原理的狀況上。這需要假設(shè)一些絕對、永恒和普遍的理性秩序或者理性證明。數(shù)學(xué)哲學(xué)中的邏輯主義就是這樣的一種企圖。
貫穿 19 世紀(jì)和 20 上半葉西方哲學(xué)議程表的一個(gè)主要議題，是用還原主義的方式說明數(shù)學(xué)的必然性和先驗(yàn)性。另一個(gè)問題是在不訴諸于類似康德直覺的情況下說明數(shù)學(xué)的應(yīng)用。關(guān)于這一方面，最富有成效的發(fā)展是語義學(xué)的傳統(tǒng)。
語義學(xué)傳統(tǒng)歷經(jīng)博爾扎諾、弗雷格、早期維特根斯坦和維也納學(xué)派的鼎盛時(shí)期，其主要的論題是將必然性和先驗(yàn)知識落腳于語言的使用。因而，哲學(xué)家開始將他們的數(shù)學(xué)探索的中心轉(zhuǎn)向語言。數(shù)學(xué)的斷定意味著什么? 什么是數(shù)學(xué)斷定的邏輯形式?什么是數(shù)學(xué)語言最好的語義學(xué)? 發(fā)展和磨礪了眾多工具和概念的語義學(xué)元素在當(dāng)代數(shù)理邏輯以及西方哲學(xué)中仍在有效地被使用，達(dá)米特將這一趨勢稱之為 “語言學(xué)的轉(zhuǎn)向”。語義學(xué)傳統(tǒng)的一個(gè)重要綱領(lǐng)體現(xiàn)為: 在命題是依據(jù)意義而為真的這一意義上，至少有一些數(shù)學(xué)的基本原理是分析的。諸如 “自然數(shù)”、“后繼”、“函數(shù)”、“加”和 “乘”這樣的詞匯，只要我們理解了它們的意義，我們也就知曉了諸如皮亞諾公設(shè)這樣的算術(shù)基本原理的真。如果綱領(lǐng)能夠被實(shí)施，它也會表明數(shù)學(xué)真理是必然的———在某種程度上，如此構(gòu)造的分析真理也是必然的。假定了語詞意味著什么，數(shù)學(xué)命題必定獨(dú)立于物質(zhì)世界的偶然性而為真。數(shù)學(xué)知識是先驗(yàn)的———在一定程度上意義的知識是先驗(yàn)的�？梢酝茰y，語言的說話人先驗(yàn)地知道語詞的意義，因而我們知道數(shù)學(xué)命題是先驗(yàn)的。但邏輯主義的主張以失敗而告終。
邏輯主義的失敗主要的并不是由于由弗雷格、羅素和懷特海所發(fā)展起來的綱領(lǐng)存在的具體問題而引起的，而是因?yàn)閷壿嫼蛿?shù)學(xué)的概念理解和應(yīng)用的錯位和誤置。因?yàn)�，邏輯主義綱領(lǐng)是建立在邏輯比數(shù)學(xué)更一般，也更抽象的假設(shè)基礎(chǔ)之上的。人們一般認(rèn)為，邏輯是所有學(xué)科中最一般的，因?yàn)檫壿嬍穷}材中立的，它適用于所有可能的話語，它是一般的有效演繹推理的研究。而數(shù)學(xué)比其他學(xué)科更加演繹，數(shù)學(xué)是邏輯和演繹推理的典范。在它的公理化和系統(tǒng)化的形式中，數(shù)學(xué)證明的每一演繹步驟都由邏輯所管轄。在這種情況下，人們認(rèn)為，數(shù)學(xué)本質(zhì)上就是演繹，從邏輯可以推出數(shù)學(xué)。
但在某種意義上，與邏輯相比數(shù)學(xué)是更加一般的。邏輯和數(shù)學(xué)各自的性質(zhì)決定了邏輯和算術(shù)( 更一般地說是數(shù)學(xué)) 不能夠由一方推出另一方，而只能夠肩并肩地一起發(fā)展。數(shù)學(xué)和邏輯是建立在抽象的兩個(gè)不同的方向上。邏輯處理內(nèi)容上最具一般性的東西，而數(shù)學(xué)是形式關(guān)系和形式性質(zhì)的最一般理論。所以一方面數(shù)學(xué)的發(fā)展受制于邏輯的法則，另一方面，思維的邏輯結(jié)構(gòu)又歸屬于具有必然和諧性的結(jié)構(gòu)說明的反思的數(shù)學(xué)范圍之內(nèi)。
因此，首先邏輯與數(shù)學(xué)之間不是一般和特殊的關(guān)系。其次，邏輯并不比數(shù)學(xué)更抽象。盡管二者都是抽象的，但它們卻是在不同方向的抽象。因?yàn)槌橄蟮姆较蛑辽俨糠值氖遣恢睾系�，因而在哪一個(gè)比哪一個(gè)更抽象這方面，二者是沒有可比性的。第三點(diǎn)聯(lián)系也許是最本質(zhì)的。就像邏輯的表達(dá)方式本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的一樣，數(shù)學(xué)的表達(dá)本質(zhì)上是邏輯的。數(shù)學(xué)由于是一門演繹的科學(xué)而屬于邏輯，邏輯由于例化了某種類型的結(jié)構(gòu)而屬于數(shù)學(xué)。邏輯和數(shù)學(xué)的關(guān)系并不是一個(gè)包含著另一個(gè)，它們中的每一個(gè)都實(shí)質(zhì)性地假定了對另一個(gè)的使用，因而從某種意義上說預(yù)設(shè)了另一個(gè)的某些方面。
除此之外，邏輯主義試圖表明，至少在它的弗雷格形式中，并非數(shù)學(xué)僅僅被邏輯所滲透。數(shù)學(xué)就是邏輯，加適當(dāng)?shù)亩x: 數(shù)學(xué)內(nèi)容就是邏輯內(nèi)容。如果邏輯主義綱領(lǐng)成功，我們將有理由認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯的一種特定的形式，因而邏輯比數(shù)學(xué)更一般。盡管在實(shí)施這一綱領(lǐng)的困難證偽了邏輯主義，但我們?nèi)耘f要將邏輯更具一般性，和數(shù)學(xué)的內(nèi)容可還原為邏輯的內(nèi)容這兩個(gè)問題區(qū)別開來。后者是關(guān)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的，而前者是關(guān)于它的表達(dá)和實(shí)施的。
總之，邏輯和數(shù)學(xué)的依賴關(guān)系是雙向的。數(shù)學(xué)推理的特征是一種邏輯的運(yùn)作，而邏輯的運(yùn)作是一種數(shù)學(xué)的行為。數(shù)理邏輯并沒有達(dá)到作為算術(shù)的邏輯基礎(chǔ)的目標(biāo)。邏輯主義失敗的原因并不在于弗雷格的處理的特定形式，而寧可是錯誤地提出將數(shù)學(xué)還原為邏輯的問題造成的，即數(shù)學(xué)和邏輯并非是一種特殊和一般的關(guān)系。
四、數(shù)學(xué)需要什么樣的邏輯?
關(guān)于數(shù)學(xué)需要什么樣的邏輯的問題，我們以一階邏輯和高階邏輯在表達(dá)力與復(fù)雜性方面的某些特征為例，討論它們作為數(shù)學(xué)語言的優(yōu)劣。目前公認(rèn)的、最普通的邏輯系統(tǒng)是初等謂詞邏輯，又稱為一階邏輯。一階邏輯有一個(gè)被良好研究的證明論和模型論，有若干有趣的性質(zhì): 有一個(gè)遞歸—可枚舉的演繹系統(tǒng) DI，使得任何一個(gè)一階語句 Φ 是一階語句 Γ 的集合的邏輯后承，當(dāng)且僅當(dāng)在 DI 中 Φ 是從 Γ 中可演繹的，因而一階邏輯是完全的。由此推出一階邏輯在如果每一一階語句的集合 Γ 的有窮子集是可滿足的，那么 Γ 本身是可滿足的意義上是緊致的。向下的雷文海姆—斯科倫定理是: 一個(gè)一階語句的集合 Γ 是可滿足的，那么它有一個(gè)其論域是可數(shù)的模型; 向上的雷文海姆—斯科倫定理是，如果對每一自然數(shù) n，一個(gè)一階語句的集合 Γ 有一個(gè)其論域至少有 n 個(gè)元素的模型是可數(shù)的模型，那么對任意無窮基數(shù) K，Γ 有一個(gè)其域至少是 K 大小的模型。
不論是日常自然語言的論證還是來自于數(shù)學(xué)的論證都廣泛采用了一階語言的論證模式。一階邏輯對于研究有效性是一個(gè)好的工具。一階語言也捕捉到了自然語言語義學(xué)的某些重要特征，所以一階語言邏輯也是研究自然語言的工具。然而，一階邏輯在表達(dá)力方面有嚴(yán)重的缺陷。諸如有限性、可數(shù)性、極小閉包、良基性和良序性等概念在一階語言中都不可能被捕捉到。更進(jìn)一步地說，許多重要的語言學(xué)術(shù)語、區(qū)別以及結(jié)構(gòu)都不在一階語言的范圍之內(nèi)。
一階邏輯的主要替代者是二階邏輯。在一階刻畫中缺乏的數(shù)學(xué)概念在二階語言中都有充分的刻畫。例如，存在著一個(gè)二階公式 FIN ( X) 在一結(jié)構(gòu)中可滿足當(dāng)且僅當(dāng)指派到 X 的集合是有窮的。這方面的例子包括自然數(shù)、實(shí)數(shù)、歐幾里德空間以及集合論。一般地說，二階語言和高階語言允許語言學(xué)家對許多超出一階語言的語言學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行�；�
二階語言的表達(dá)力的豐富是由代價(jià)的。從二階邏輯的表達(dá)力中可以推出，二階邏輯不是緊致的，二階邏輯對雷文海姆—斯科倫定理是失效的。二階邏輯是高度復(fù)雜的，在某些方面是深奧難懂的。在沒有可靠性和遞歸可數(shù)的演繹性方面，二階邏輯是內(nèi)在不一致的。的確，二階邏輯的真并不在分析的等級層列之中。當(dāng)然，二階邏輯的這些特征是否是它的一個(gè) “缺陷”這依賴于一個(gè)好的邏輯理論的性質(zhì)是什么。進(jìn)而，又依賴于邏輯理論被認(rèn)為應(yīng)當(dāng)完成什么。按照這些古老的問題，我們對二階邏輯做一些評述。
二階邏輯后承的難解性是二階語言表達(dá)力的一個(gè)直接和不可避免的后果。在一種意義上，邏輯后承的非形式概念是與語句 ( 命題) 意味著什么以及語言的詞項(xiàng)指稱是什么聯(lián)系在一起的。因而，如果形式語言的目的是為了捕捉非形式的數(shù)學(xué)話語的語義學(xué)內(nèi)容，特別是，為了復(fù)制指稱和可滿足的概念———因?yàn)榉切问降臄?shù)學(xué)話語似乎在刻畫諸如有限和結(jié)構(gòu)、自然數(shù)和實(shí)數(shù)等方面有資源，而我們的形式語言應(yīng)當(dāng)有這方面的表達(dá)力———那么，一般認(rèn)為，二階語言的難解性和豐富性就是數(shù)學(xué)語言的豐富性和難解性的一個(gè)后果。從這一觀點(diǎn)看，人們應(yīng)當(dāng)認(rèn)為數(shù)學(xué)和邏輯是一個(gè)無間隙的整體，在二者之間不可能劃出一條直截了當(dāng)?shù)慕缦�。丘奇在他對二階邏輯的處理時(shí)曾經(jīng)寫道:邏輯和數(shù)學(xué)不應(yīng)作為兩個(gè)不同的學(xué)科加以刻畫，而是同一學(xué)科的初等和高等部分。①
巴威思也闡述了類似的思想:
在基礎(chǔ)邏輯的學(xué)科中，我們試圖對體現(xiàn)于作為邏輯常項(xiàng)的 “邏輯概念”與作為數(shù)學(xué)概念的其他概念之間做出區(qū)別。關(guān)于是否存在著這樣一條界限，或者是否所有的數(shù)學(xué)概念有它們自己的邏輯的問題，不存在這條區(qū)分線畫在何處的問題…作為一個(gè)邏輯學(xué)家，一方面，說服人們相信邏輯是一階的，另一方面，又說服人們相信一階邏輯難以捕捉到現(xiàn)代數(shù)學(xué)中幾乎所有的概念，這樣做是在危害邏輯的事業(yè)。②
巴威思得出的結(jié)論是，不可能再回到邏輯是一階的觀點(diǎn)中去。
哲學(xué)家也有理由使得邏輯較容易被處理，或者至少比起二階后承關(guān)系要更容易處理。有一種久已存在的觀點(diǎn)，邏輯不應(yīng)有本體論和形而上學(xué)的預(yù)設(shè)。如果這一點(diǎn)難以做到，那么至少這種預(yù)設(shè)應(yīng)保持在最低限度。邏輯后承僅僅取決于邏輯小品詞的意義。后承關(guān)系應(yīng)當(dāng)是透明的，潛在明顯的。如果連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成為邏輯真理，那一定是有些地方出了錯誤。
作為一階邏輯的直言不諱的支持者，蒯因反對二階邏輯。他認(rèn)為:大部分的邏輯推理發(fā)生在并不預(yù)設(shè)抽象實(shí)體的層面上。這種推理主要是通過量詞理論 ( 即一階邏輯) 來進(jìn)行的。它們的法則能夠通過不涉及對類變元的量化來表達(dá)。通常按照類、關(guān)系甚至偶數(shù)所明確表達(dá)的大多數(shù)內(nèi)容，都可以在量化理論的模式內(nèi)被重新表述。③蒯因后來論述道: 二階邏輯并不是邏輯，而是偽裝的集合論，是披著羊皮的狼。④
當(dāng)代邏輯學(xué)家提出了一種妥協(xié)方案，他們設(shè)想在一階邏輯和二階邏輯之間存在著一種發(fā)展邏輯的可能性。哲學(xué)家試圖在這兩種極端之間尋找一種路徑，一種不像一階邏輯那么弱，但至少保留分析性和透明性這種傳統(tǒng)的可欲之物。正式地說，邏輯學(xué)家希望邏輯系統(tǒng)比起一階邏輯應(yīng)有更強(qiáng)的表達(dá)力，但是不像二階邏輯那樣難以理解。這就是當(dāng)代邏輯學(xué)家從事邏輯研究的動機(jī)之一。對此，考爾斯寫道眾所周知，一階邏輯在表達(dá)數(shù)學(xué)家們研究的許多概念方面是能力有限的…然而，一階邏輯…的確有相當(dāng)廣泛的發(fā)展，并且有被很好理解的模型論。另一方面，整個(gè)的二階邏輯有數(shù)學(xué)所需要的全部表達(dá)力，但是有一個(gè)不可行的模型論。的確一種語義上足夠復(fù)雜到能夠談?wù)撃承┦挛�，但與此同時(shí)又簡單到足以談?wù)撃承┦挛锏倪壿嫷难芯�，這是邏輯的一種增殖。⑤
五、數(shù)學(xué)與邏輯中的不可或缺性論證
一個(gè)相當(dāng)引人注目但卻毫無爭議的事實(shí)是數(shù)學(xué)和邏輯對科學(xué)似乎是不可或缺的。特別是，蒯因和普特南論證道，數(shù)學(xué)對經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的
不可或缺的論證給了我們相信數(shù)學(xué)實(shí)體存在的極好的理由。按照這一路線，諸如集合、數(shù)、函數(shù)以及邏輯學(xué)中的可能世界等對最好的科學(xué)理論而言是不可或缺的，所以我們應(yīng)當(dāng)訴諸于這些數(shù)學(xué)和邏輯實(shí)體的存在，否則就犯下了普特南所謂的 “理智不誠實(shí)”的罪過，更進(jìn)一步地說，數(shù)學(xué)和邏輯實(shí)體似乎在認(rèn)識論上與科學(xué)理論中的其他實(shí)體相同。因?yàn)閷η耙活悓?shí)體存在的信念被確認(rèn)作為一個(gè)整體的理論的相同證據(jù)所辯護(hù) ( 因而相信后一類實(shí)體的存在) 。這一論證稱之為蒯因—普特南數(shù)學(xué)實(shí)在論的不可或缺的論證。不可或缺的論證引起了極大的關(guān)注，它構(gòu)成了 20 世紀(jì)最后幾十年數(shù)學(xué)哲學(xué)和邏輯哲學(xué)爭論的一個(gè)焦點(diǎn)，并被看作是對數(shù)學(xué)實(shí)在論的最好的論證，因而關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)體的反實(shí)在論者 ( 或唯名論者) 認(rèn)為不可或缺性的論證必定在某些地方有錯誤。而許多柏拉圖主義者依賴這一論證以證成他們對數(shù)學(xué)實(shí)體的信念。這些論證使那些對諸如夸克，電子、黑洞等其他科學(xué)理論實(shí)體持實(shí)在論立場的唯名論者處于一種特別困難的境地。因?yàn)橥ǔＫ麄兘邮艿纳鲜鰧?shí)體非常類似于不可或缺論證所辯護(hù)的那些實(shí)體。絕大多數(shù)的科學(xué)實(shí)在論者都接受了關(guān)于最好解釋的論證。的確，最好解釋的推理被認(rèn)為是科學(xué)實(shí)在論的基石。但是，最好解釋的論證也許被視為是不可或缺論證的一種形式，所以，任何一個(gè)接受了前一種立場而同時(shí)又拒絕后一種立場的實(shí)在論者會察覺到他們處在一個(gè)非常不穩(wěn)固的立場上。不可或缺的論證呈現(xiàn)為以下形式:
( 前提 1) : 對于那些并僅對于那些對我們目前最好的科學(xué)理論是不可或缺的實(shí)體，我們應(yīng)當(dāng)有一種本體論的承諾。
( 前提 2) : 數(shù)學(xué)實(shí)體對于我們最好的科學(xué)理論是不可或缺的。
( 結(jié)論) : 對數(shù)學(xué)實(shí)體我們應(yīng)當(dāng)有一種本體論的承諾。
對不可或缺的論證存在著許多反對的意見。其中關(guān)于前提 ( 前提 1) 的質(zhì)疑主要體現(xiàn)于對抽象對象的不可或缺性的批評: 例如，唯名論數(shù)學(xué)提出一種不需要假設(shè)抽象對象的唯名論數(shù)學(xué)以取代經(jīng)典數(shù)學(xué)，由此論證抽象數(shù)學(xué)對象不是不可或缺的。以菲爾德為代表的數(shù)學(xué)唯名論觀就認(rèn)為，數(shù)學(xué)對科學(xué)并不是不可或缺的。菲爾德的論證由兩部分組成。⑥第一部分是試圖證明我們最好的科學(xué)理論沒有數(shù)學(xué)也能存活下來。為了這一目的，他試圖對牛頓的引力理論施加一個(gè)唯名論的框架。盡管這遠(yuǎn)未證明所有我們目前最好的科學(xué)理論都能夠唯名論化，但它的確不是微不足道的。菲爾德認(rèn)為，對于一個(gè)典型的物理理論，一旦人們看到對數(shù)學(xué)實(shí)體指稱的消除是可能的，那么將這一做法擴(kuò)展到其他的科學(xué)領(lǐng)域也是完全可行的。
菲爾德的第二部分是論證數(shù)學(xué)理論并不需要在應(yīng)用方面是真的有用的，它只需要保守性。這意味著，利用這些數(shù)學(xué)理論可以推導(dǎo)出的關(guān)于具體物理對象的結(jié)論，不用這些數(shù)字定理也可以推導(dǎo)出。菲爾德唯名論的數(shù)學(xué)只涵蓋了較簡單的數(shù)學(xué)。同樣的策略不適用于更高級的數(shù)學(xué)。另外，菲爾德假設(shè)時(shí)空中的點(diǎn)和區(qū)域是具體對象，但是，從哲學(xué)分析的角度看，時(shí)空中的點(diǎn)是我們對時(shí)空結(jié)構(gòu)的抽象設(shè)置，其本身應(yīng)當(dāng)是抽象的。而且菲爾德的唯名論數(shù)學(xué)在應(yīng)用于物理學(xué)時(shí)顯得繁瑣，而且只能涵蓋很有限的物理和數(shù)學(xué)，因而不可能得到科學(xué)家的承認(rèn)。不可或缺的論證也包括邏輯哲學(xué)中模態(tài)實(shí)在論對 “可能世界”、“可能性”和 “必然性”等概念的辯護(hù)。模態(tài)邏輯把 “P 是必然的”定義為 “P 在所有的可能世界中為真”，“P 是可能的”定義為 “P 在至少一個(gè)世界中為真”。在使用這種萊布尼茨式的真值條件定義時(shí)，邏輯對可能世界進(jìn)行量化。模態(tài)實(shí)在論認(rèn)為，對可能世界的量化，就像我們對石頭和木棒的量化一樣，通過存在量化式我們不僅承諾了石頭和木棒的存在，也承諾了可能世界的存在。模態(tài)實(shí)在論者對可能世界的論證也采取了不可或缺的論證模式。例如，劉易斯就認(rèn)為我們沒有理由不承認(rèn)模態(tài)實(shí)在論，因?yàn)樗行�。這如同我們承認(rèn)數(shù)學(xué)客體的存在是因?yàn)樗杏檬且粯拥摹?/p>
對劉易斯可能世界不可或缺的論證的反對主要由認(rèn)識論的反對和模態(tài)無關(guān)性的反對組成。認(rèn)識論的反對由理查德提出。⑦他認(rèn)為: “盡管可能世界語義學(xué)的確產(chǎn)生出關(guān)于可能性的真值條件，但它是這樣一種真值條件，即對任何給定的陳述，一般地不可能確定它們是否被滿足，因而一般地也不可能確定它們是真的”。為什么呢? 理查德認(rèn)為，因?yàn)楦揪蜎]有模態(tài)模態(tài)，因而包含有模態(tài)話語的知識既是不可獲得的，又是毫無用途的。
以朱比因?yàn)榇淼哪B(tài)無關(guān)性觀點(diǎn)認(rèn)為，說我們的世界在某些方面與所謂可能世界的實(shí)體相似固然是自然的，但為什么我們要假定我們世界的任何方面都可能與這些實(shí)體相似。存在著這種類型的實(shí)體嗎? 畢竟我們沒有創(chuàng)造出這些特別的實(shí)體。它們以一種與 “世界”相似的方式產(chǎn)生出來，不管怎樣，這只是一種可能。它們只是在那里，決然地獨(dú)立于我們。我們必須與這樣的可能性打交道嗎? 由此朱比因也就斷然否定了模態(tài)知識的可能性。⑧
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