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解析幾何建構(gòu)及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)
解析幾何創(chuàng)立之前，幾何與代數(shù)就猶如兩條平行線一樣，是相互分離的兩個(gè)完成不同的領(lǐng)域，以下是小編搜集整理的一篇探究幾何構(gòu)建對(duì)數(shù)學(xué)所做貢獻(xiàn)的論文范文，供大家閱讀查看。
1 時(shí)代背景的分析
勒內(nèi)·笛卡爾(Ren¨DesCartes,1596~1650)，一般認(rèn)為為近代歐洲哲學(xué)的始祖，理性主義的先驅(qū)，在哲學(xué)與科學(xué)上，完美地演繹了近代西方思想之流變的代表者。在哲學(xué)上，他以“我思故我在”的首命題開啟了近代主體性哲學(xué)，被譽(yù)為“近代哲學(xué)第一人”;在自然科學(xué)上，解析幾何、光的反射及折射定律、血液循環(huán)學(xué)說、漩渦宇宙論等突出成就奠定了笛卡爾在現(xiàn)代科學(xué)基礎(chǔ)性地位。尤為重要的是在笛卡爾初期思想體系中，“哲學(xué)”與“科學(xué)”之間從未真正分離過，統(tǒng)一的原則性與相同的邏輯推理融會(huì)貫通。本文選擇從解析幾何創(chuàng)立出發(fā)，討論笛卡爾方法論在解析幾何創(chuàng)立過程中的運(yùn)用，進(jìn)而進(jìn)一步分析笛卡爾方法論思想在其哲學(xué)道路中的演化。
2 幾何的研究法對(duì)笛卡爾的影響
2.1 古代數(shù)學(xué)觀的影響
柏拉圖學(xué)園入口處的碑銘是：“不懂幾何學(xué)者莫入。”而柏拉圖本人也根深蒂固地認(rèn)為幾何學(xué)知識(shí)是掌握其他更高領(lǐng)域知識(shí)的必由之路。而這種思想也是古希臘多數(shù)智者的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。古希臘畢達(dá)哥拉學(xué)派，以“數(shù)”為本原，認(rèn)為量和形式是實(shí)務(wù)多樣性的統(tǒng)一基礎(chǔ)。笛卡爾認(rèn)為，蘇格拉底以前的希臘人憑借著創(chuàng)造性的天賦創(chuàng)立了幾何學(xué)和算術(shù)科學(xué)，使之成為獲取確定性知識(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)，這是柏拉圖哲學(xué)形成的前期條件。如果說笛卡爾把幾何學(xué)作為哲學(xué)研究的基礎(chǔ)和模式，把幾何學(xué)公里體系的確定性作為哲學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)。那么笛卡爾從古樸的數(shù)學(xué)觀開始，由此及彼，最終形成自己哲學(xué)體系。
2.2 笛卡爾對(duì)數(shù)學(xué)的探索
1919 年 7 月笛卡爾在慕尼黑的烏爾姆，與剛出版《論算術(shù)》數(shù)學(xué)家福爾哈貝爾交往，對(duì)其產(chǎn)生影響。11 月，笛卡爾開始試圖借鑒數(shù)學(xué)構(gòu)建他的哲學(xué)方法論規(guī)則，并在此規(guī)則下研究各種具體的科學(xué)問題。“我還繼續(xù)練習(xí)運(yùn)用我所規(guī)劃的那種方法，因?yàn)槲页税凑者@些規(guī)則小心地對(duì)我的一切思想作普遍的引導(dǎo)外，還不時(shí)留下一點(diǎn)時(shí)間，從特殊方面著手，用來解決數(shù)學(xué)上的一些難題，有時(shí)也用來解決一些別的科學(xué)上的難題;我發(fā)現(xiàn)那些問題所依據(jù)的本原不夠牢靠，使它們脫離那些本原，于是把問題弄得幾乎和數(shù)學(xué)問題差不多了。”①1628 年 11 月，在巴黎羅馬教皇特使的住所，笛卡爾發(fā)表了演講。他通過周密的論證提出了不能在或然性上建立科學(xué)，而應(yīng)當(dāng)將科學(xué)建立在確定性的基礎(chǔ)上，并且只能如此，實(shí)現(xiàn)的途徑可以用數(shù)學(xué)的方法來演繹證明。
3 解析幾何建構(gòu)及對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)
解析幾何創(chuàng)立之前，幾何與代數(shù)就猶如兩條平行線一樣，是相互分離的兩個(gè)完成不同的領(lǐng)域。文藝復(fù)興后，歐洲學(xué)者不僅繼承了古希臘的幾何學(xué)，同時(shí)也接受了由阿拉伯傳入的代數(shù)學(xué)。雖然歐洲學(xué)者接受了這門新興學(xué)科---代數(shù)學(xué)，但是幾何學(xué)的思維仍舊根深蒂固地占據(jù)著絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家思維模式的統(tǒng)治地位。“至于古代人分析與近代人的代數(shù)，都只是研究抽象，看來十分無用的題材。”①笛卡爾認(rèn)為：古老的幾何學(xué)和新興的代數(shù)學(xué)，二者的統(tǒng)一在于都是討論高度抽象且毫無實(shí)用價(jià)值的東西之外，前者只限于擺弄圖形，讓想象力匱乏的人不知所云，疲憊不堪，也就不能很好地理解運(yùn)用;而后者則高度限制于定律和方程式中，形成呆板、混亂及模糊的科學(xué)，以至于不但不能栽培心智，反倒阻礙了發(fā)展。笛卡爾看到了幾何的直觀與推理的優(yōu)勢(shì)和代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)便，決定尋找一種新的方法，可以涵蓋二者的優(yōu)勢(shì)，摒棄缺陷，笛卡爾希望提出把圖形和代數(shù)完美結(jié)合的模式，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”.
3.1 解析幾何的創(chuàng)立
1637 年，笛卡爾在其第一部也是最具影響力的著作《談?wù)劮椒ā分蟹治隽讼ＥD著名的數(shù)學(xué)問題---帕波斯問題，在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了解析幾何。笛卡爾在附錄《幾何學(xué)》中把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)：把幾何學(xué)的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)的問題，用代數(shù)學(xué)的方法研究幾何，開創(chuàng)了用代數(shù)方法解決幾何問題的先河。
笛卡爾在坐標(biāo)系中，引進(jìn)單位長(zhǎng)度，利用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。線段與數(shù)量聯(lián)系起來，解決幾何作圖的原則性問題。他在單位線段基礎(chǔ)上，進(jìn)行線段的加、減、乘、除、開方等運(yùn)算。通過線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”,然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。笛卡爾用數(shù)形結(jié)合的方法解決數(shù)學(xué)問題，依照這種思想他創(chuàng)立了“解析幾何學(xué)”.
在此之前，有學(xué)者研究以兩條相交直線作為參照系;同時(shí)也有學(xué)者天文研究時(shí)，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)數(shù)量經(jīng)度和緯度來表示。這些都對(duì)解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響，但他們只是感性的認(rèn)識(shí)，笛卡爾系統(tǒng)總結(jié)并公開發(fā)表。另外，在數(shù)學(xué)史上，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一。他的思路是通過軌跡來研究方程，與笛卡爾相反，剛好是解析幾何原則的兩個(gè)相反的方面，互為補(bǔ)充。
3.2 解析幾何創(chuàng)立的現(xiàn)實(shí)意義
解析幾何的出現(xiàn)，架起了“數(shù)”與“形”的橋梁，把二者統(tǒng)一了起來，并改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何相互分離的趨向，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x 軸、原點(diǎn)、y 軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)唯一地確定。帕普斯問題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類。
笛卡爾這一天才創(chuàng)見，為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡爾用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，把曲線看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡，不僅建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過將點(diǎn)、線、面等形和“數(shù)”統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這種函數(shù)概念式的萌芽，標(biāo)志變量進(jìn)入了數(shù)學(xué)思想方法。“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。”①笛卡爾的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分發(fā)現(xiàn)開辟了道路。此后，人類進(jìn)入變量數(shù)學(xué)階段。這也為后來的黎曼幾何奠定了基礎(chǔ)。
4 從解析幾何創(chuàng)立分析笛卡爾數(shù)學(xué)方法論
一般認(rèn)為亞里士多德學(xué)說是希臘科學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。從宏觀的角度，他是古希臘最后一個(gè)提出完整世界體系的哲學(xué)家。之后許多科學(xué)家放棄提出完整體系的想法，轉(zhuǎn)入具體問題的研究上。在古希臘，數(shù)學(xué)是屬于形而上學(xué)的一部分，它用抽象的思維來解釋世界。笛卡爾在解析幾何上突破，在亞里士多德的形而上學(xué)體系打破缺口，在認(rèn)知問題跨出重要的一步，使得數(shù)學(xué)問題不再是困擾哲學(xué)的一個(gè)問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)與哲學(xué)各自的發(fā)展，推動(dòng)數(shù)學(xué)方法推理，演繹更加合理化，從而在方法論發(fā)展哲學(xué)。
笛卡爾總結(jié)歸納其思想方法
第一條：“凡是我沒有明確認(rèn)識(shí)到的東西，我絕不把他當(dāng)做接受。”①永遠(yuǎn)不接受任何我自己不清楚的真理。即沒有自身經(jīng)歷的問題，無論多么權(quán)威都可以懷疑，也必須懷疑。這也是“認(rèn)識(shí)自己”的前提，笛卡爾認(rèn)為除了公理以外，真理是可以證明的。這是笛卡爾回歸古希臘的傳統(tǒng)。這也是文藝復(fù)興后，哲學(xué)的一個(gè)重要轉(zhuǎn)向的問題，認(rèn)知的問題。這也是培根提出“經(jīng)驗(yàn)主義”的根源。笛卡爾認(rèn)為幾何就是用一連串的十分證明來完成最艱難的證明。他進(jìn)行推廣，由此及彼必然次序推理，只要我們不把假的當(dāng)做真的接受，人類能夠認(rèn)識(shí)所有的東西。而一切要回到哲學(xué)的本源，最簡(jiǎn)單，最原始的東西開始。
第二條：“把我所審查的難題近按照可能和必要的程度分成若干份，一一妥為的解決。”①這是分析的方法。在研究的過程中，我們要將復(fù)雜的研究問題，化整為小，然后各個(gè)解決。笛卡爾就是利用幾個(gè)月時(shí)間研究幾何與代數(shù)最簡(jiǎn)單的問題，他抓住“全部?jī)H僅是研究對(duì)象之間的各種關(guān)系或者比例”特點(diǎn)。為了研究他們，笛卡爾首先用簡(jiǎn)單的線段直觀的出現(xiàn)，再“盡量用短的數(shù)字”說明它。“盡量用短的數(shù)字”這里指的是方程。這是笛卡爾的辯證的思想表現(xiàn)。
第三條：“按照我的次序進(jìn)行思考，先從最簡(jiǎn)單的、最容易認(rèn)識(shí)的地方開始;一點(diǎn)一點(diǎn)地上升，直到最復(fù)雜的認(rèn)識(shí)對(duì)象;對(duì)于那些本來沒有次序的東西，也給它們?cè)O(shè)定一個(gè)次序。”①將這些小問題從簡(jiǎn)單到復(fù)雜排列，先從容易解決的問題著手。先用簡(jiǎn)單的成功，促進(jìn)局部問題的解決，這樣有利整體問題的根本的解決。最重要要有次序，建立了一種邏輯關(guān)系。
笛卡爾認(rèn)為直觀和演繹是數(shù)學(xué)上兩種基本方法。推演真理的程序是由公理達(dá)到結(jié)論。直觀是理智最單純的基本活動(dòng)，是絕對(duì)真理的供給基礎(chǔ)渠道。只要我們應(yīng)用“心靈之眼”觀看三角形只有三邊等這樣顯而易見的感受事實(shí)，在研究任何問題的過程中，一切難題的解答必須借助這類單純的觀念。演繹也是理智的活動(dòng)，但是和直觀不同，它們不是單純理智的活動(dòng)，必須先假定了某些真理(或定義)之后，憑借這些定義推出一些結(jié)論。笛卡爾認(rèn)為直觀的功用是在于提供科學(xué)和哲學(xué)的最新原則;而演繹則是應(yīng)用這些原則來建立一些定理和命題。也就是說，直觀是發(fā)明的基本原則，演繹是導(dǎo)致最基本的結(jié)論。不過笛卡爾認(rèn)為演繹是有缺陷的，因?yàn)橥粋�(gè)原則往往會(huì)演繹出不同的結(jié)論，每個(gè)人洞悉自己存在的事實(shí)和思想存在的事實(shí)。所以最終糾正的方法就是事實(shí)。這個(gè)糾正的方法就是經(jīng)驗(yàn)，即所謂的訴諸事實(shí)。
歷史的積淀和現(xiàn)實(shí)的創(chuàng)造織成了一張人類對(duì)知識(shí)的反思之網(wǎng)，縱向、橫向這兩個(gè)維度構(gòu)成了一個(gè)“笛卡爾坐標(biāo)系”,笛卡爾哲學(xué)不過是這張網(wǎng)上的紐結(jié)。它標(biāo)示出了笛卡爾哲學(xué)的歷史坐標(biāo)。
笛卡爾認(rèn)為一切科學(xué)體系等同人的智慧。科學(xué)應(yīng)用到不同的事物上，自然反應(yīng)也就不同。理智等同的信念就成為科學(xué)的方法根據(jù)。哲學(xué)是愛智慧，笛卡爾深信在所有的知識(shí)中，數(shù)學(xué)最具資格被稱為真正的科學(xué)。它具有真正科學(xué)的條件和達(dá)到真理的方法，所以他要借助數(shù)學(xué)的形式作為一切知識(shí)的形式。同時(shí)，數(shù)學(xué)方法也是普遍知識(shí)的方法。所以應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)中尋求理智活動(dòng)的法則�？茖W(xué)只有一種，因而方法也只有一個(gè)，數(shù)學(xué)方法也是其他科學(xué)的方法。任何人都能應(yīng)用，并且十分方便，只要你仔細(xì)遵守，絕不會(huì)把假的當(dāng)做真的，隨著時(shí)間的推移，知識(shí)自然而然得到積累，而心靈達(dá)到理智所能知道的知識(shí)最高境界。
實(shí)驗(yàn)方法、數(shù)學(xué)方法以及兩種方法的融合，是近代自然科學(xué)得以建立的基礎(chǔ)，這樣的實(shí)證研究方法在古希臘阿基米德那里已見傳統(tǒng)，隨著力學(xué)自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問題。笛卡爾站在方法論的自然哲學(xué)的高度，用數(shù)學(xué)方法演繹數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家的歷史地位。
參考文獻(xiàn)
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[3] 黃學(xué)勝。論笛卡爾哲學(xué)中的“上帝”[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2007(4)。
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