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淺談定積分不等式證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法
摘 要：構(gòu)造輔助函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中解決問題的一種重要方法，在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，通過研究微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造法，構(gòu)造與問題相關(guān)的輔助函數(shù)，從而得出欲證明的結(jié)論。尤其關(guān)于定積分不等式的證明在近幾年的研究生數(shù)學(xué)考試中又頻繁出現(xiàn)。借助適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)來證明定積分不等式是一種非常重要且行之有效的方法。本文對(duì)某些定積分不等式中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法簡(jiǎn)單探討。
關(guān)鍵詞：定積分不等式;構(gòu)造;輔助函數(shù);變限法
當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法去考慮而很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式――構(gòu)造輔助函數(shù)。輔助函數(shù)構(gòu)造法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的思想方法，在高等數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用。構(gòu)造輔助函數(shù)是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時(shí)，常表現(xiàn)為不對(duì)問題本身求解，而是構(gòu)造一個(gè)與問題有關(guān)的輔助問題進(jìn)行求解。微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數(shù)學(xué)問題的方法。可以解決高等數(shù)學(xué)中眾多難題，尤其是在微積分證明題中應(yīng)用頗廣，可達(dá)到事半功倍的效果。特別是定積分不等式的證明，往往需要借助恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)才能順利完成，然而，對(duì)基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是相當(dāng)有難度的。筆者在教學(xué)中進(jìn)行探索，找到一些可行的方法，在此與廣大讀者進(jìn)行交流。
一、構(gòu)造輔助函數(shù)的原則
輔助函數(shù)的構(gòu)造是有一定規(guī)律的。當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常的方法按定勢(shì)思維去考慮很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，這就是構(gòu)造輔助函數(shù)解題的一般思路。
二、構(gòu)造輔助函數(shù)方法探討
1.僅告知被積函數(shù)連續(xù)的命題的證法
一般來說，這類命題的證明要做輔助函數(shù)(或者說用輔助函數(shù)法更簡(jiǎn)便)。
在定積分不等式中，輔助函數(shù)φ(x)的構(gòu)造方法是將定積分不等式中，積分上限(或下限)及相同字母換成x，移項(xiàng)使不等式一端為 0，則另一端即為所設(shè)的輔助函數(shù)φ(x)。
這類命題的證明思路：
(1)做輔助函數(shù)φ(x);
(2)求φ(x)的導(dǎo)數(shù)φ'(x)，并判別φ(x)的單調(diào)性;
(3)求φ(x)在積分區(qū)間[a，b]的端點(diǎn)值φ(a)，φ(b)，其中必有一個(gè)值為“0”，由第2條思路可推出φ(b)>φ(a)(或φ(b)<φ(a))，從而得出命題的證明。
2.已知被積函數(shù)f(x)一階可導(dǎo)，又至少一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值為0(f(a)=0或f(b)=0)的命題的證法
(1)證題思路之一。①寫出含這個(gè)端點(diǎn)的拉格朗日中值定理：f(x)=f (x)-f(a)=(x-a)f '(ξ)，(f(a)=
0)或f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f '(ξ)，(f(b)=0)。②再根據(jù)題意進(jìn)行不等式的放縮。③用定積分的比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等定積分性質(zhì)作分析處理。
例1，設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且f '(x)≤M，f(a)=0，證明
∫ f(x)dx≤―(b-a)2
證明：由題設(shè)對(duì)任意的x∈[a，b]，
可知f(x)在[a，b]上滿足拉氏微分中值定理，于是有：
f(x)=f(x)-f(a)=f '(ξ) (x-a)，ξ∈(a，x)
∵f(x)≤M，∴f(x)≤M(x-a)，
由定積分比較定理，得出：
∫ f(x)dx≤∫M(x-a)dx=―
(b-a)2
(2)證明思路之二。①寫出如下等式：
f(x)=f(x)-f(a)=∫ f'(t)dt(當(dāng)f(a)=0時(shí))
或f(x)-f(ξ)=∫ f'(t)dt
�、诶枚ǚe分比較定理、估值定理或絕對(duì)值不等式進(jìn)行分析處理。
3.已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)，且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的命題的證法
證明思路：直接寫出f(x)的泰勒展開式(證明定積分等式是將輔助函數(shù)F(x)=∫ f'(t)dt展成泰勒公式)，然后根據(jù)題意對(duì)展開式進(jìn)行放縮。
三、結(jié)束語
輔助函數(shù)的構(gòu)造在高等數(shù)學(xué)中一直占有重要地位，尤其是在微積分學(xué)中。輔助函數(shù)的構(gòu)造是我們解決問題的重要工具，對(duì)它的研究從沒有中斷過，很多數(shù)學(xué)工作者對(duì)微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造做了很多研究，也取得了很多學(xué)術(shù)成果。本文從構(gòu)造輔助函數(shù)的基本原則入手，總結(jié)了幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，同時(shí)也體現(xiàn)了構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要作用。
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