例談直覺思維在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用
數(shù)學直覺思維是人們在分析解決問題時快速動用自己所有經(jīng)驗和知識，在對對象作過總體上的觀察分析之后，直接觸及事物本質(zhì)，作出假設(shè)，然后再對假設(shè)作出檢驗或證明的一種思維方法。它主要表現(xiàn)在對數(shù)學對象的敏銳洞察，從而直接猜斷和總體把握在我們找到解答和證明之前，直覺先已幫助我們對結(jié)論或解題思路產(chǎn)生預(yù)見然而，在目前中學數(shù)學教學中往往偏重于演繹推理的訓練，強化形式論證的邏輯的嚴密性，忽視了直覺思維在解題中預(yù)知導向和頓悟作用，也失去了數(shù)學思維形成過程中直觀生動的一面這在一定范圍上限制了學生思維素質(zhì)的提高，與現(xiàn)代素質(zhì)教育要求背道而馳，所以在中學培養(yǎng)學生的直覺思維是中學數(shù)學教學的目標之一。
1. 聯(lián)想和猜想。聯(lián)想是由當前感知的事物回憶起有關(guān)另一事物的心理過程。在數(shù)學思維活動中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學對象和有關(guān)知識間的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是人們在認識事物的過程中，根據(jù)事物之間的某種聯(lián)系，由一事物聯(lián)想到另一事物的心理過程。它是一種由此及彼的思維活動。聯(lián)想思維在認識活動過程中起著橋梁和紐帶的作用。對于一些未知的數(shù)學知識，通過已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，從而使一些有未知知識的數(shù)學問題得以解決。在數(shù)學的具體解題過程中，通過對題設(shè)中的條件、圖形特征以及求解目標分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對在數(shù)學中運用的聯(lián)想思維進行研究，包括其作用以及如何培養(yǎng)。
愛因斯坦認為：科學研究真正可貴的因素是直覺思維，同樣，數(shù)學解題中聯(lián)想靈感迸發(fā)也離不開直覺思維。對問題在作全面的思考之后，不經(jīng)詳盡的推理步驟，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性判斷�？梢哉f聯(lián)想是靈感誘發(fā)而產(chǎn)生的'。特別地，在一些若干問題往往無從下手，著不到邊。這時就需由聯(lián)想來產(chǎn)生解題靈感。使本來困難、受阻的題目，迎刃而解。
例1：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1
求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1
分析：聯(lián)想a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ
則可以令 。
從而從問題很容易得到解決。
通過以上的理論和例子我們發(fā)現(xiàn)，聯(lián)想思維在具體的解題過程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數(shù)學題目,特別是著手較難的數(shù)學題目，可以通過這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯(lián)想思維是在具體的學習過程中逐步培養(yǎng)起來的。而數(shù)學是一門有著與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系的學科。在日常的生活、工作以及學習中培養(yǎng)這種思維是無意識，也是潛意識。
聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導。猜想則是直覺的結(jié)果，所謂直覺，信息加工的原理來看，就是將零散、孤立的信息快速聯(lián)系和重組，從中產(chǎn)生新的有價值信息，聯(lián)系和重組的能力依賴于每個人的聯(lián)想空間，因此不時地引導學生對面臨的問題進行聯(lián)想。
O.K.吉霍米曾說過：在心理中，思維被看作解題活動雖然思維并不是總等于解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過解題來實現(xiàn)。而聯(lián)想靈感是創(chuàng)造性思維中最富有創(chuàng)造性特征的重要組成部分，所以聯(lián)想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學數(shù)學的教學中對聯(lián)想思維的培養(yǎng)是很重要的，中學數(shù)學教師在授課的同時要注重對這些思維的培養(yǎng)。
2. 經(jīng)驗和規(guī)律。數(shù)學直覺思維在解題中應(yīng)用較多都是利用長期積累經(jīng)驗和掌握的規(guī)律，它是一種理性直覺，雖然有時拋棄了常規(guī)的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來風有時又不受任何模式限制, 思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經(jīng)驗和掌握常見數(shù)學規(guī)律、大膽的預(yù)測，探索解題的方向。下面再舉個例子來繼續(xù)探討。
例2：過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長度分別是p、q。則■+■=( )。
A. 2a B. ■ C. 4a D. ■
本題是圓錐曲線中最典型的焦點弦問題，看似很難，其實只要看下答案，四個答案都是定值。經(jīng)驗告訴我們一個直覺：結(jié)論與直線的位置無關(guān)，所以只要取PQ垂直x軸這一特殊情況就可以啦。通過這個例子，說明在解決數(shù)學題時，有時經(jīng)驗也是可以幫上忙的。當然，這個經(jīng)驗的獲得可能需要經(jīng)過大量的實踐才能獲得。
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