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談常見效用函數(shù)下臨界保費的計算
論文關(guān)鍵詞:效用函數(shù) 臨界保費 理賠
論文摘要:根據(jù)保險人保險定價的效用方程,分別討論了在3種不同效用函數(shù)下的臨界保費.
從管理決策的角度看,保險產(chǎn)品的定價問題、準(zhǔn)備金提留問題、再保險自留額問題以及資產(chǎn)負債配比問題都是風(fēng)險和不確定條件下的決策.從風(fēng)險決策的理論和實踐知道,合理的決策不僅取決于對外在環(huán)境的不確定的把握,而且取決于決策者對自身的價值結(jié)構(gòu)判斷.在保險學(xué)中,通過引入效用函數(shù)來描述決策者的風(fēng)險態(tài)度、偏好和價值結(jié)構(gòu),并將它與潛在損失或理賠的概率評估有機結(jié)合起來,從更加綜合的角度尋求諸多保險決策問題的解.
一般地,決策者的風(fēng)險態(tài)度被分為三種類型:風(fēng)險偏好、風(fēng)險厭惡和風(fēng)險中立,分別對應(yīng)著他們的效用函數(shù)u(x)的曲線為上凸、下凸和直線三種情況.最普遍的情況是厭惡風(fēng)險,本文重點討論此種情況.
1 保險定價問題
引理1(Jensen不等式) 設(shè)決策者的風(fēng)險是厭惡風(fēng)險,即它的效用函數(shù)u(x)滿足u′(x)>0,u″(x)<0,則對于隨機變量X,成立如下不等式E[u(X)]≤u[E(X)].
假定決策者(保險人)擁有財富W.若要承保,則可以在原有財富W的基礎(chǔ)上增加一筆保費收入G,但是得替被保險人承擔(dān)風(fēng)險,其財富變成了隨機變量W+G-X,其中隨機變量X表示風(fēng)險,其概率分布為F(x).若不承保,則保險人確定地擁有財富W.設(shè)保險人關(guān)于確定量和關(guān)于隨機變量分布的效用函數(shù)分別為u(x)和U[X],則對保險人而言,“合理”的承保保費應(yīng)滿足不等式U[W+G-X]≥u(W).G越小,要承保的效用U[W+G-X]越小,當(dāng)G小到使等號成立時,承保已無任何吸引力,所以保險人愿意接受的最底保費G*是使得上式等號成立的臨界值,稱為臨界保費.
根據(jù)期望效用原理,隨機變量X的“效用”U[X]可以轉(zhuǎn)化為隨機變量函數(shù)u(X)的期望,即
U([X])=E[u(X)]=∫Du(x)dF(x).
其中F(x)是隨機變量X的分布函數(shù),D是隨機變量X的取值范圍.
2 主要結(jié)論
對于風(fēng)險決策者常用的效用函數(shù)有以下幾種:直線型效用函數(shù)、拋物線型效用函數(shù)、指數(shù)型效用函數(shù)、對數(shù)型效用函數(shù)和分數(shù)冪型效用函數(shù)等.下面給出前3種情況下的臨界保費.命題
1 設(shè)保險人的效用函數(shù)為直線型,
u(x)=ax+b,理賠X的概率分布為F(x),則臨界保費G*=E[X].
證明 考慮保險人定價的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
=E[a(W+G*-X)+b]
=aW+aG*-aE[X]+b,
u(W)=aW+b,
聯(lián)立兩式得 G*=E[X].
命題1說明對于風(fēng)險態(tài)度中立的決策者來說,臨界保費即是純保費,但這只是一種理想的情況.命題2 設(shè)保險人的效用函數(shù)為拋物線型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0<x<12α,并且假設(shè)理賠X的概率分布為F(x),則此時臨界保費為
G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
證明 考慮保險人定價的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]
= 12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)
=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},
u(W)=W-αW2,
聯(lián)立兩式得下列方程
-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW -1)E[X]-αE[X2]=0.
解關(guān)于G*的一元二次方程得
G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α
=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).
特別地,當(dāng)W=0時,
G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)
≈E[X]+ασ2(X), 此時σ2(X) 12α.這正是非壽險保費定價中的“方差原理”,因為在金融分析中常用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)來度量風(fēng)險的大小,方差越大,不確定的程度越大.保險人把它作為一條加費的理由,因而在純保費E[X]的基礎(chǔ)上又多了一項“安全附加費用”.
命題3 設(shè)保險人的效有函數(shù)為指數(shù)型,u(x)=-e-αx,α>0,假設(shè)理賠X的概率分布為F(x),則此時臨界保費為G*=1αlnMX(α),其中MX(α)為理賠隨機變量X的矩母函數(shù).證明 考慮保險人定價的效用方程為
U([W+G*-X])=u(W).
∵U([W+G*-X])=E(u[W+G*-X])
= +∞0-e-α(W+G-X*)dF(x)
=-e-α(W+G*) +∞0eαxdF(x)
=-e-α(W+G)*MX(α),
u(W)=-eαW,
聯(lián)立兩式得 G*=1αMX(α).
可以看出對于這類特殊的效用函數(shù),臨界保費與保險人所擁有的財富大小無關(guān).
3 總結(jié)
效用理論一直是研究在風(fēng)險和不確定條件下進行合理決策的理論基礎(chǔ),保險研究之中除保險定價以外,決定合理的準(zhǔn)備金、自留額以及選擇合理的財務(wù)方案都可以以此作為決策的原理.因此,它具有很強的理論指導(dǎo)作用.
從以上幾個例子可以看出,實際保險定價中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不過是期望效用的特殊形式,它們對應(yīng)著一次、二次多項式等簡單的效用函數(shù).類似地,還可以討論對數(shù)效用函數(shù)u(x)=lnx、分數(shù)冪效用函數(shù)u(x)=xr(0<r<1)等其他常見效用函數(shù)所對應(yīng)的情況.
參考文獻
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