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函數(shù)概念的“源”與“流
函數(shù)概念的“源”與“流
1.1函數(shù)概念的“源”
馬克思曾經(jīng)認(rèn)為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中的不定方程的研究，由于羅馬時代丟番圖對不定方程已有相當(dāng)?shù)难芯浚院瘮?shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽。
自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上？行星運行的軌道是橢圓，原理是什么？還有，研究在地球表面上拋射物體和路線、射程的影響問題，既是科學(xué)家力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題。函數(shù)概念就是從這些運動研究中引申出來的一個數(shù)學(xué)概念。在伽利略的力學(xué)著作《兩門新科學(xué)》中用文字語言敘述了一些函數(shù)關(guān)系。如：“從靜止開始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比”。“沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑時間與平板的長度成正比”。[5]等等這些敘述只需引進(jìn)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號就可表示為簡潔、明確的數(shù)學(xué)關(guān)系，這些文字語言是早期函數(shù)概念的雛形。
17世紀(jì)上半葉，笛卡爾把變量引入數(shù)學(xué)，他指出了平面上的點與其數(shù)對 之間的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)動點作曲線運動時，它的 坐標(biāo)和 坐標(biāo)相互依賴并同時發(fā)生變化，其關(guān)系可由包含 的方程式給出。相應(yīng)的方程式就揭示了變量 和y之間的關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義。
從現(xiàn)存文獻(xiàn)中可知，最早提出函數(shù)概念的，是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲。于1673年他用“函數(shù)”一詞表示冪，如 都叫函數(shù)。隨后在他的一部手稿里，他又用“函數(shù)”一詞來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量——例如：切線、法線、次切線等的長度以及縱坐標(biāo)等。[6] 萊布尼茲的函數(shù)概念使用范圍狹窄，后續(xù)的數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上做了許多擴展工作。
1698年，萊布尼茲的學(xué)生，瑞士數(shù)學(xué)家約翰、伯努力提出新的函數(shù)概念：“由變量x和常數(shù)所構(gòu)成的式子叫做x的函數(shù)。”[7]1718年他又進(jìn)一步規(guī)范了這一定義：“一個變量的函數(shù)指由這個變量和常數(shù)任意一種方式構(gòu)成的一個量。”[8]伯努力所強調(diào)的是函數(shù)要用公式表示。后來數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式表達(dá)上，只要一些變量變化就可以，至于這兩個變量的關(guān)系是否要用公式表示就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。
1734年，瑞士另一數(shù)學(xué)家歐拉，首次使用了符號 表示變量數(shù)，他的例子是 ，后人據(jù)此發(fā)明了 表示變量x的函數(shù)值。[9]1755年，歐拉在其論著中把函數(shù)定義為：“如果某些變量以某種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一些變量是后一些量的函數(shù)。”在此定義中，就不強調(diào)要用公式表示了，由于函數(shù)不一定要用公式表示，歐拉曾把畫在坐標(biāo)系里的曲線叫函數(shù)，他認(rèn)為：“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線。”
1797，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日，從分析學(xué)的角度對函數(shù)概念做了擴展：“所謂一個或幾個變量的函數(shù)是任意一個適合于計算的表達(dá)式，這些量以任意方式出現(xiàn)于表達(dá)式中。”無獨有偶，1822年法國另一個數(shù)學(xué)家傅里葉，在他的名著《熱的解析理論》中定義為：“通常函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo)，它們中的毎一個都是任意的……我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個。”在該書里，他用一個三角級數(shù)和的形式表達(dá)了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)。[10]證明在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了。
19世紀(jì)是數(shù)學(xué)大發(fā)展的時代，除了創(chuàng)立大批新的數(shù)學(xué)分支和分析基礎(chǔ)嚴(yán)密是其顯著特色。數(shù)學(xué)家他們在考慮鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時，對函數(shù)概念“發(fā)散”狀況也做了種種規(guī)范，主要是突出了變量與對應(yīng)關(guān)系。
1823年，法國另一數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變量間存在一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值，其它變量的值可隨著而確定時，則將最初的變量叫自變量，其它各變量叫做函數(shù)，在柯西的定義中，首次出現(xiàn)了自變量一詞。
1834俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣一個數(shù)，它對于毎一個x都有確定的值。并且隨著x一起變化，函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法，函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的。”這個定義指出了對應(yīng)關(guān)系，可以求出毎一個x的對應(yīng)值。
1837年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對應(yīng)關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的任何一個值，總有一個完全確定的y值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)。”這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需一個法則存在，使得這個函數(shù)取值范圍中的任何一個值，有一個確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式或圖像或表格或其它形式。這個定義比前面的定義更具有普遍性，為理論研究和實際應(yīng)用提供了方便，因此這個定義曾被長期使用。
19世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)家從函數(shù)的適用范圍對這一概念做了不同程度的擴展。例如德國的黎曼1851將變量推廣到復(fù)數(shù)；英國的布爾和德國的佛雷格又將變量擴展到邏輯符號；德國的戴德金則直接使用“元素”和“映射”表示變量，使函數(shù)概念由具體描述上升到抽象概括。
1.2函數(shù)概念的“流”
隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們對函數(shù)的認(rèn)識越來越深刻。到了19世紀(jì)70年代，德國數(shù)學(xué)家康托集合論的產(chǎn)生后，建立了函數(shù)的結(jié)合對應(yīng)定義，也就是用“集合”與“對應(yīng)”來敘述：“給定兩個集合A和B，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，對A的每一個元素，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系稱為從A集合到集合B的函數(shù)。類似于現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課本中的函數(shù)定義。
20世紀(jì)初，生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進(jìn)一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳的矛盾。20世紀(jì)20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象，1930年量子力學(xué)面世，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)—— -函數(shù)，即 。[17]
- 函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們激烈爭論，按照函數(shù)原理定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，而沒有把“ ”作為數(shù)，另外對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零的函數(shù)，這也是不可想象的。然而， -函數(shù)確實是實際模型的抽象。例如，當(dāng)汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力，從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點 處壓強是 ，其余點 處，因為無壓力，故無壓強，即 ，另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即 。
函數(shù)概念在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，20世紀(jì)60年代以后，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念——“關(guān)系”。 設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集 （笛卡爾積）為 ，積集中的子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若 ，則稱x與y有關(guān)系R，記為 ，若 ，則稱x與y無關(guān)系。則從集合X到集合Y的函數(shù) 有如下定義：1） 是X與Y的關(guān)系，即 ，2)如果 ，必有 ，那么 為X到Y(jié)的函數(shù)。[11]在此定義中已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語，全部便用了集合論的語言了。
目前，推廣的函數(shù)概念的定義中把諸如“算子”和“泛函”（函數(shù)的函數(shù)，包括某些廣義函數(shù)）等名詞都包含進(jìn)去了，以適應(yīng)日新月異發(fā)展的數(shù)學(xué)。我們可以預(yù)計到，關(guān)于函數(shù)的爭論、研究、發(fā)展、拓廣將不會完結(jié)，也正是這些影響著數(shù)學(xué)及相鄰學(xué)科的發(fā)展。
回顧函數(shù)概念的“源”與“流”，我們看到，函數(shù)概念逐漸從直觀到抽象，從含糊到精確；大致經(jīng)歷了三個階段：從羅馬時代到17世紀(jì)中葉：樸素直觀、通俗易懂但不嚴(yán)格的描述階段；17世紀(jì)末到19世紀(jì)60年代：大致為常量與變量的表述階段；19世紀(jì)70年代到當(dāng)今：發(fā)展到集合與對應(yīng)，映射與關(guān)系抽象定義階段。這個發(fā)展流程與學(xué)生認(rèn)知函數(shù)的過程基本一致。因此歷史上許多定義都對我們今天的教學(xué)有啟示作用。例如，早期的函數(shù)定義談到的“解析表達(dá)式”、“由曲線確定關(guān)系”、“依賴變化”等，盡管其范圍狹窄、表述不明確，但生動直觀，學(xué)生容易理解，所以可以作為正式定義前的鋪墊材料；中期的定義除了“變量”、“對應(yīng)”這兩個概念未明確外，總的來說比較嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生也可以接受，所以略加修改就可以作為函數(shù)的正式定義。后期的定義只用到集合概念，嚴(yán)謹(jǐn)抽象，中學(xué)生不易接受，但對函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)與研究以及加深對函數(shù)概念的理解大有用處。
當(dāng)然，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教育時，根據(jù)教育對象理解程度不同而采取不同的函數(shù)定義是必要的，有時候還常常借助于幾何直觀（函數(shù)圖像）來理解函數(shù)概念。人們認(rèn)識由淺入深，由片面到全面，函數(shù)概念也隨著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)步而不斷更新完善的。以上我們分析了函數(shù)概念的整個發(fā)展歷程，下面我們來看看數(shù)學(xué)中真正使用了哪些定義。
1.3函數(shù)概念的不同表述
初中教材中函數(shù)概念的表述：“一般地設(shè)在一個變化過程中有兩個自變量 與 ，如果對于 的毎一個值， 都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說 是自變量， 是 的函數(shù)。”[12] 該表述與狄利克雷的函數(shù)定義類似。此表述的特點很直觀，并且明確指出自變量 在某一給定范圍可以取任意值,因變量 按一定規(guī)律也相應(yīng)每次取唯一確定值。而此表述相對于初中要掌握的常量、變量、函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、及其圖像、反比例函數(shù)和性質(zhì)）完全夠用。而且這個表述對初中生來說，也是容易理解的。
工具書上的定義：《中國大百科全書、數(shù)學(xué)》為函數(shù)單列一條，在講明“函數(shù)是一類依賴關(guān)系的一種數(shù)學(xué)概括” 后定義：“設(shè)D是一非空的實數(shù)集， 是某一法則。如果對于毎一個數(shù) ， 唯一地確定出一個相對應(yīng)的實數(shù) ，則稱 為定義于D上的一個函數(shù)。”[13]
《數(shù)學(xué)百科辭典》指出：“目前在數(shù)學(xué)中，函數(shù)一詞一般是在和映射完全相同的意義下使用的。”在集合A、B之間，當(dāng)給出使A的各元素對應(yīng)B的某幾個元素的規(guī)則，稱確定了由A到B的映射。映射也稱為函數(shù)或者變換。函數(shù)在這里已不稱其為函數(shù)了，成了映射或變換的代名詞。[14]
高中教材中的定義1：如果A、B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射 ： 就叫做A到B的函數(shù)，記作： ，其中 ，原象的集合A叫做函數(shù) 的定義域，象的集合 叫做函數(shù) 的值域，函數(shù)符號 表示“ 是 的函數(shù)”，有時簡記作函數(shù) 。[15]
高中數(shù)學(xué)教材中定義2:設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于集合A中的任意一個數(shù) ,在集合B中都有唯一確定的數(shù) 和它對應(yīng),那么就稱 :A B為從集合A到集合B的函數(shù),記作: 其中 叫做自變量, 的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與 值相對應(yīng)的 的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.[16] 高中教材中的定義與康托爾集合論出現(xiàn)后所給出的函數(shù)定義類似。是在集合基礎(chǔ)上用對應(yīng)的方式給出的（先定義映射也是用對應(yīng)的方式給出的），這兩個定義更簡明、嚴(yán)謹(jǐn)。定義2避開了映射這個定義也避開了映射學(xué)習(xí)對后繼學(xué)習(xí)的影響。高中要學(xué)的所有函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、反函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）等均可用這兩個定義表示，而且這兩個定義相對于高中生的認(rèn)知水平，也是可以接受的。
數(shù)學(xué)分析中的定義:給定兩個實數(shù)集 和 ,若一個對應(yīng)法則 ,使 內(nèi)每一個數(shù) ,都有唯一的一個數(shù) 與它對應(yīng),則稱 是定義在數(shù)集 上的函數(shù),記作 ： （ ）。數(shù)集 稱為函數(shù)的定義域。對于 中的每一個 根據(jù)法則 所對應(yīng)的 中的數(shù) ,稱 為在點 的函數(shù)值,常記為 。全體函數(shù)值的集合 稱為函數(shù)的值域。[17]
高等數(shù)學(xué)中的定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量 和 ，若對于 的取值范圍內(nèi)的每一個值，按照某一個確定的對應(yīng)法則， 有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱 是 函數(shù)，記作 ，變量 稱為自變量，變量 稱為因變量。自變量 的取值范圍稱為函數(shù)的定義域。當(dāng)自變量在定義域內(nèi)取定某個值 時，按照確定的對應(yīng)法則所得到的因變量的相應(yīng)值 稱為函數(shù) 在 處的函數(shù)值，記作 ，并稱函數(shù) 在 處有定義。當(dāng)自變量 在定義域上取值時，相應(yīng)的函數(shù)值全體稱為函數(shù) 的值域。[18] 由以上的兩個定義可以看出，大學(xué)教材中的定義是在中學(xué)教材中的定義的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)修改。
1.4引入函數(shù)概念的意義
從人類數(shù)學(xué)發(fā)展的整個歷程來看，一個根本的轉(zhuǎn)折點是17世紀(jì)中葉，笛卡爾引入變量。恩格斯給予了高度評價“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成了必要，而它們也就立刻產(chǎn)生。”[19]也正是由于人們對變量、函數(shù)概念的認(rèn)識，數(shù)學(xué)科學(xué)由初等數(shù)學(xué)時期（或稱常量數(shù)學(xué)時期）進(jìn)入了高等數(shù)學(xué)時期（或稱變量時期）。函數(shù)概念不僅使得人類數(shù)學(xué)思維發(fā)生了質(zhì)的飛躍，而且導(dǎo)致了數(shù)學(xué)科學(xué)的蓬勃發(fā)展，數(shù)學(xué)中的許多概念或由函數(shù)派生，或由函數(shù)統(tǒng)率,或可歸之為函數(shù)觀點研究。因此，可以毫不夸張地說，函數(shù)是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。
函數(shù)在數(shù)學(xué)教育中的重要性體現(xiàn)在：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容中重要的基礎(chǔ)概念之一。進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析，包括極限理論，微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程乃至泛函分析等高等學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，無一不是以函數(shù)作為基本的概念和研究對象的。其他學(xué)科如物理學(xué)等學(xué)科也是以函數(shù)的基礎(chǔ)知識作為研究問題和解決問題的工具。此外函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容還蘊涵著極其豐富的辯證思想，是對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育和愛國主義教育的好素材。函數(shù)的思想方法廣泛地滲透到了中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程和其它學(xué)科中。通過對函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對學(xué)生的思維發(fā)展具有重大作用，它將使學(xué)生通過這一概念的形成引發(fā)對思維水平質(zhì)的飛躍，并引導(dǎo)其由形式邏輯思維范疇進(jìn)入辯證思維范疇。
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