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導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用的論文
【摘要】導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛，特別是在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中有很多具體的例子。掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念和經(jīng)濟(jì)中常見(jiàn)函數(shù)的概念非常重要，把經(jīng)濟(jì)學(xué)中很多現(xiàn)象進(jìn)行分析，歸納到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，對(duì)很多經(jīng)營(yíng)決策者起了非常重要的作用。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；變化率；邊際；邊際分析
高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，微分學(xué)則是微積分的重要組成部分，而導(dǎo)數(shù)又是微分學(xué)中的基本概念之一，所以學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用尤為重要。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍頗為廣泛，比如在物理學(xué)中的應(yīng)用，在工程技術(shù)上的應(yīng)用，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用等等，今天我們就導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用略做討論。
一、導(dǎo)數(shù)的概念
從數(shù)量關(guān)系而言，導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)的自變量在變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值變化的快慢程度——變化率（瞬時(shí)變化率）。從數(shù)學(xué)表達(dá)式而言，研究的是函數(shù)的增量與自變量的增量比的極限問(wèn)題。
函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式如下：
若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱y=f(x)在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，記f′(x)為y=f(x)在該區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)），表達(dá)式如下：
二、經(jīng)濟(jì)中常用的函數(shù)
導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，主要是研究在這一領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關(guān)系，因此必須了解一些經(jīng)濟(jì)分析中常見(jiàn)的函數(shù)。
�。ㄒ唬﹥r(jià)格函數(shù)
一般說(shuō)來(lái)，價(jià)格是銷售量的函數(shù)。生活中隨處可見(jiàn)，買的東西越多，消費(fèi)者砍價(jià)的幅度就可以大些。例如：某批發(fā)站批發(fā)1000只杯子給零售商，批發(fā)定價(jià)是20元，若批發(fā)商每次多批發(fā)200只杯子，相應(yīng)的批發(fā)價(jià)格就降低1元，現(xiàn)在批發(fā)站杯子的存貨只有2000只，最小的銷量是1000只，求價(jià)格函數(shù)。
�。ǘ┬枨蠛瘮�(shù)
作為市場(chǎng)上的一種商品，其需求量受到很多因素影響，如商品的市場(chǎng)價(jià)格、消費(fèi)者的喜好等.為了便于討論，我們先不考慮其他因素，假設(shè)商品的需求量?jī)H受市場(chǎng)價(jià)格的影響。即
Q=f(p)
其Q中表示商品需求量，p表示商品市場(chǎng)價(jià)格。
例如：某廠家從促進(jìn)消費(fèi)的需求考慮，對(duì)某空調(diào)的價(jià)格從3000元/臺(tái)降到2500元/臺(tái)，相應(yīng)的需求量從3000臺(tái)增到5000臺(tái)，求需求函數(shù)。
�。ㄈ┏杀竞瘮�(shù)
成本包括固定成本和變動(dòng)成本兩類.固定成本是指廠房、設(shè)備等固定資產(chǎn)的折舊、管理者的固定工資等，記為C0。變動(dòng)成本是指原材料的費(fèi)用、工人的工資等，記為C1。這兩類成本的總和稱為總成本，記為C，即
C=C0+C1
假設(shè)固定成本不變（C0為常數(shù)），變動(dòng)成本是產(chǎn)量q的函數(shù)（C1=C1（q)），則成本函數(shù)為C=C（q)=C0+C1（q)。
�。ㄋ模┦找婧瘮�(shù)
在商業(yè)活動(dòng)中，一定時(shí)期內(nèi)的收益，就是指商品售出后的收入，記為R.銷售某商品的總收入取決于該商品的銷售量和價(jià)格。因此，收入函數(shù)為
R=pq
其中q表示銷售量，p表示價(jià)格。
�。ㄎ澹├麧�(rùn)函數(shù)
利潤(rùn)是指收入扣除成本后的剩余部分，記為L(zhǎng).
L=R-C
其中R表示收入，C表示成本。
總收入減去變動(dòng)成本稱為毛利潤(rùn)，再減去固定成本稱為純利潤(rùn)。
三、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用舉例
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也存在變化率的問(wèn)題，因此我們可以把微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多問(wèn)題歸結(jié)到數(shù)學(xué)中來(lái)，用我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以研究并解決。
在此我們就經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和邊際分析問(wèn)題加以稍作討論。
邊際概念表示當(dāng)x的改變量△x趨于0時(shí)y的相應(yīng)改變量△y與△x的比值的變化，即當(dāng)x在某一給定值附近有微小變化時(shí)y的瞬時(shí)變化。
若設(shè)某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)y與影響指標(biāo)值的因素x之間成立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)，則稱導(dǎo)數(shù)f′(x)為f(x)的邊際函數(shù)，記作My。隨著y，x含義不同，邊際函數(shù)的含義也不一樣。
設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)為C=C(q)，則稱MC=C′(q)為邊際成本。邊際成本的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本為C′(q)。
類似可定義其它概念，如邊際收入，邊際產(chǎn)量，邊際利潤(rùn)，邊際銷量等等。
經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的目的，除了考慮社會(huì)效益，對(duì)于一個(gè)具體的公司，決策者更多的是考慮經(jīng)營(yíng)的成果，如何降低成本，提高利潤(rùn)等問(wèn)題。
例1某種產(chǎn)品的總成本C（萬(wàn)元）與產(chǎn)量q（萬(wàn)件）之間的函數(shù)關(guān)系式（即總成本函數(shù)）為
C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3
求生產(chǎn)水平為q=10（萬(wàn)件）時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？
解當(dāng)q=10時(shí)的總成本為
C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（萬(wàn)元）
所以平均成本（單位成本）為C(10)÷10=130÷10=13（元/件）
邊際成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2
MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3（元/件）
因此在生產(chǎn)水平為10萬(wàn)件時(shí)，每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加3元，遠(yuǎn)低于當(dāng)前的單位成本，從降低成本角度看，應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量。
例2某公司總利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與日產(chǎn)量q（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式（即利潤(rùn)函數(shù)）為L(zhǎng)=L(q)=2q-0.005q2-150
試求每天生產(chǎn)150噸，200噸，350噸時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說(shuō)明經(jīng)濟(jì)含義。
解邊際利潤(rùn)ML=L′(q)=2-0.01q
ML│q=150=2-0.01×150=0.5；
ML│q=200=2-0.01×200=0；
ML│q=350=2-0.01×350=-1.5
從上面的結(jié)果表明，當(dāng)日產(chǎn)量在150噸時(shí)，每天增加1噸產(chǎn)量可增加總利潤(rùn)0.5萬(wàn)元；當(dāng)日產(chǎn)量在200噸時(shí)，再增加產(chǎn)量，總利潤(rùn)已經(jīng)不會(huì)增加；而當(dāng)日產(chǎn)量在350噸時(shí)，每天產(chǎn)量再增加1噸反而使總利潤(rùn)減少1.5萬(wàn)元，由此可見(jiàn)，該公司應(yīng)該把日產(chǎn)量定在200噸，此時(shí)的總利潤(rùn)最大為：L(25)=2×200-0.005×2002-150=50（萬(wàn)元）
從上例可以發(fā)現(xiàn)，公司獲利最大的時(shí)候，邊際利潤(rùn)為零。
例3某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)和收入函數(shù)依次為，C(q)=3000+200q+(1/5)q2，R(q)=350q+(1/20)q2，其中q為產(chǎn)品的月產(chǎn)量，每月的產(chǎn)品均能全部銷完，求利潤(rùn)最大的月產(chǎn)量應(yīng)為多少？
解L(q)=R(q)-C(q)
=350q+(1/20)q2-3000-200q-(1/5)q2
=150q+(3/20)q2-3000(q>0)
L′(q)=150-(3/10)q
令L′(q)=0，得q=500
列表考查
由表格可以看出在(0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，且L(q)是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)生活中的實(shí)際規(guī)律可得，它就是最大值點(diǎn)。
所以，當(dāng)月產(chǎn)量為500生產(chǎn)單位時(shí)，利潤(rùn)最大。
從上例我們可以證明，利潤(rùn)最大的必要條件是邊際收入等于邊際成本。
即由L′(q)=0，且L(q)-C(q)
得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0，即R′(q)=C′(q),
MR=MC
例4某企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中需使用某種原材料。到外地采購(gòu)一次這種原材料，要開(kāi)銷采購(gòu)人員的工資、旅差費(fèi)、手續(xù)費(fèi)、運(yùn)輸費(fèi)、檢驗(yàn)費(fèi)等，但每次采購(gòu)的總的采購(gòu)費(fèi)用基本相同。原材料被采購(gòu)回來(lái)后，除了被使用外，存放在倉(cāng)庫(kù)里，要開(kāi)銷保管費(fèi)用，保管費(fèi)用通常是采購(gòu)批量、采購(gòu)價(jià)格、保管費(fèi)率三者乘積的一半，試求總費(fèi)用最小的采購(gòu)批量。
解設(shè)每年使用原材料的總量為Q，每次采購(gòu)的批量為q，每次采購(gòu)費(fèi)用為k，則年采購(gòu)次數(shù)為(Q/q)，每年的采購(gòu)費(fèi)用為(Q/q)×k。
又設(shè)該原材料的價(jià)格為p，保管費(fèi)率是i，則庫(kù)存費(fèi)用為(1/2)·q·p·i，因此總費(fèi)用為
C(q)=(Q/q)·k+(1/2)·q·p·i
求導(dǎo)得C′(q)=-(Q/q)·k+(1/2)p·i，令C′(q)=0，得。
這是所求的唯一值，根據(jù)生活的實(shí)際情況定有最小值，這唯一的點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，所以當(dāng)每次采購(gòu)批量為時(shí)，總費(fèi)用最小。
上例的結(jié)果，是理想化的瞬時(shí)送貨的最佳庫(kù)存模型，這個(gè)模型被廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際。
下面我們看實(shí)際的例子。
例5某企業(yè)生產(chǎn)使用某原材料100噸/年，每次采購(gòu)的費(fèi)用是1000元，每噸原材料的年庫(kù)存費(fèi)（材料價(jià)格與保管費(fèi)率之積）為500元，如果材料消耗是均勻的，問(wèn)應(yīng)分幾批采購(gòu)，使總費(fèi)用最小？
解設(shè)每次采購(gòu)原材料q噸，則總費(fèi)用為
C(q)=(100/q)·1000+(1/2)·q·500
C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500
令C′(q)=0，得（噸）
所以q=20當(dāng)時(shí)，即每年分(100/20)=5（次）時(shí)，總費(fèi)用最小。
以上本人就導(dǎo)數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問(wèn)題進(jìn)行了討論，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用頗為廣泛，不僅此而已。從上面的例子可以看出，導(dǎo)數(shù)對(duì)于在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際問(wèn)題的分析尤為重要，通過(guò)邊際問(wèn)題的分析，對(duì)于企業(yè)的決策者作出正確的決策起了十分重要的作用！
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