雙曲線及其幾何性質(zhì)的技巧分析教育論文
從高考內(nèi)容上看，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是命題的熱點(diǎn)，題型多為客觀題，著重考查漸近線與離心率問題，難度不大，但有一定的靈活性。
重點(diǎn)：雙曲線的第一、第二定義， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何性質(zhì)，軌跡問題等。
難點(diǎn)：a，b，c，e等參數(shù)值的求法及其取值范圍問題的探討，直線與雙曲線位置關(guān)系相關(guān)的綜合問題。
�。�1）研究雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，首先應(yīng)考慮用定義來解題。 關(guān)注定義中的“絕對(duì)值”，若定義中去掉了“絕對(duì)值”，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，由此導(dǎo)致一個(gè)點(diǎn)在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的。
�。�2）研究雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形（焦點(diǎn)三角形）問題時(shí)，在運(yùn)用定義的同時(shí)還會(huì)經(jīng)常用到正、余弦定理。
�。�3）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
�、俣x法：分析題目條件是否滿足定義；求出a，b，c；寫出方程。
�、诖ㄏ禂�(shù)法：確定焦點(diǎn)的位置；設(shè)出待求方程；確定相關(guān)系數(shù)；寫出方程。
�。�4）雙曲線的幾何性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如：雙曲線■—■=1中，x≥a或x≤—a，e>1等。 在求與雙曲線有關(guān)的一些量的范圍或與這些量有關(guān)的最值時(shí)會(huì)經(jīng)常用到這些不等關(guān)系。解決雙曲線中有關(guān)變量的最值與取值范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數(shù)法。 若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法。 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，這就是代數(shù)法。
�。�5）直線與雙曲線。 直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷：直線與曲線的位置關(guān)系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來確定，通常消去方程組中的變量y（或x）得到關(guān)于變量x（或y）的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式Δ，則有：Δ>0？圳直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)；Δ=0？圳直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)；Δ<0？圳直線與雙曲線無交點(diǎn)。 若得到關(guān)于x（或y）的一元一次方程，則直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線平行于雙曲線的一條漸近線。
�。�6）直線與雙曲線相交時(shí)常見問題的處理方法：①涉及弦長問題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”，設(shè)而不求計(jì)算弦長。 直線l被雙曲線截得的弦長AB=■或AB=■，其中k是直線l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，且（x1—x2）2=（x1+x2）2—4x1x2，x1+x2，x1x2可由韋達(dá)定理整體給出。 ②涉及求平行弦中點(diǎn)的軌跡，求過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)的軌跡和求被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程問題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、弦所在直線的`斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。
�。�1）求雙曲線C的方程；
�。�2）若直線：y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A（0，—1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
思索
�、偕婕爸本�與雙曲線相交弦有關(guān)的參數(shù)范圍的問題，Δ>0是必不可少的條件。
�、陉P(guān)于直線與雙曲線的某一支的相交問題，不但要考慮Δ>0，還要考慮方程根的取值范圍。
建議同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)重視以下幾個(gè)方面：
�。�1）重視定義在解題中的作用，對(duì)于雙曲線的兩種定義，要在訓(xùn)練的過程中加強(qiáng)理解和掌握。
�。�2）重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用，解題過程中應(yīng)借助圖形分析條件，尋求最優(yōu)解法。
（3）重視設(shè)而不求的整體化處理思想的應(yīng)用，遇到有關(guān)直線與雙曲線交點(diǎn)及相關(guān)問題時(shí)，若解方程組求交點(diǎn)，往往運(yùn)算量大，易出差錯(cuò)，設(shè)而不求利用根與系數(shù)的關(guān)系便可簡捷求解。
�。�4）重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用。
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