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淺談《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》課程教學(xué)改革的思索和探討
論文關(guān)鍵詞:力學(xué)中的方法 教學(xué)改革 多媒體教學(xué) 實(shí)驗(yàn)教學(xué)
論文摘要:針對(duì)目前《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》課程的教學(xué)過(guò)程中存在的一些問(wèn)題，從優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法以及教學(xué)手段方面提出了該課程教學(xué)改革的一些有利措施。
0引言
《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》由《數(shù)學(xué)方程》與《數(shù)值分析》兩門(mén)基礎(chǔ)技術(shù)課程演化而來(lái)，涉及內(nèi)容比較廣泛。該課程共包括兩部分內(nèi)容，第一部分為《數(shù)學(xué)物理方程》中涉及到的三類偏微分方程的基本解析求解方法，即分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數(shù)法;第二部分為《數(shù)值分析》課程中常用的幾類數(shù)值計(jì)算手段，包含線性方程組的求解，非線性方程求根，插值與逼近，數(shù)值積分、數(shù)值微分以及常微分方程的數(shù)值求解等。該課程基本容括了目前工程技術(shù)研究建模求解過(guò)程中所使用的各種數(shù)學(xué)手段，是力學(xué)類學(xué)生需要學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)課程之一，也是理工科類本科生乃至研究生從事基礎(chǔ)技術(shù)研究選擇學(xué)習(xí)的重要課程之一。然而，倘若沒(méi)有深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和對(duì)工程背景的相當(dāng)了解，該門(mén)課程的學(xué)習(xí)相當(dāng)困難。為了能讓學(xué)生初步掌握該課程中所涉及到的幾種力學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法，并能運(yùn)用于實(shí)際應(yīng)用中，筆者從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面進(jìn)行了教學(xué)改革的思索和探討。
1《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》課程教學(xué)現(xiàn)狀及存在的問(wèn)題
該課程的第一部分內(nèi)容基本上由理論推導(dǎo)和抽象的數(shù)學(xué)分析構(gòu)成，將近6年的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生反饋意見(jiàn)表明，該部分內(nèi)容難度系數(shù)較高，概念太過(guò)抽象，非常不易掌握。第二部分內(nèi)容雖然相對(duì)容易，但純粹的黑板板書(shū)講解無(wú)法促進(jìn)學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容的掌握和靈活運(yùn)用。同時(shí)，由于更多的數(shù)學(xué)方法在力學(xué)研究過(guò)程中得到發(fā)展，許多新的理論與技術(shù)需要擴(kuò)充到第二部分內(nèi)容中來(lái)。而現(xiàn)代過(guò)程中，學(xué)生所需要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)增多，許多過(guò)去花費(fèi)大量學(xué)時(shí)所講的基本知識(shí)，現(xiàn)在只能用少量學(xué)時(shí)去講，因此，必須緊跟時(shí)代步伐改革教學(xué)內(nèi)容，徹底拋棄“老的但長(zhǎng)久被當(dāng)作經(jīng)典的”教學(xué)手段，比如黑板板書(shū)、手業(yè)方式等。應(yīng)用以現(xiàn)代計(jì)算工具為平臺(tái)包括交互式圖形界面等新型的教學(xué)工具作為新式的教學(xué)手段。另外，目前的試卷考核方式，并不能真實(shí)地反映出學(xué)生對(duì)該課程的掌握程度，應(yīng)進(jìn)一步改善，鼓勵(lì)學(xué)生將該課程運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題。
2注意和工程技術(shù)的關(guān)聯(lián)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容
前文已經(jīng)講到，《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》所涉及的內(nèi)容比較廣泛，但并不是所有的內(nèi)容都能在現(xiàn)代科研中得到運(yùn)用，比如偏微分方程中的行波法，在現(xiàn)代力學(xué)問(wèn)題中已經(jīng)很少得以運(yùn)用。相對(duì)而言，變分法卻得到廣泛的應(yīng)用，需要補(bǔ)充到該課程中來(lái)。另外，積分變換法需要有《復(fù)變函數(shù)》知識(shí)的基礎(chǔ)，倘若學(xué)生并未學(xué)過(guò)該部分內(nèi)容，也可略去不講。以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，倘若沒(méi)有《復(fù)變函數(shù)》的知識(shí)做鋪墊，在該課程中講授積分變換法效果欠佳。作為解析方法中最古老和最重要的一種方法，分離變量法以及格林函數(shù)法，由于在求解動(dòng)力學(xué)方程以及波動(dòng)方程中得到普遍應(yīng)用，需要詳細(xì)講解。
對(duì)于數(shù)值計(jì)算方法這部分內(nèi)容，非線性方程求根所涉及到的方法很多，有二分法、迭代法(包含簡(jiǎn)單迭代和牛頓迭代)、牛頓下山法、弦割法等，由于課時(shí)有限，應(yīng)以二分法和牛頓迭代法為主進(jìn)行講解。而插值與逼近，以及數(shù)值積分乃是歷來(lái)的講解重點(diǎn)，因?yàn)檫@部分內(nèi)容經(jīng)常在力學(xué)問(wèn)題處理中得以應(yīng)用。另外，現(xiàn)有的力學(xué)問(wèn)題中，出現(xiàn)微分方程的概率比較大，因此常微分方程的求解方法，必須得到重視。雖然說(shuō)龍格庫(kù)塔法不失為一種精度較高求解速度較快的數(shù)值計(jì)算方法，但更新型的計(jì)算方法，如精細(xì)積分等也可在該課程中簡(jiǎn)單介紹。
3多媒體教學(xué)以及MATLAB軟件的運(yùn)用促進(jìn)學(xué)生對(duì)該課程的理解
針對(duì)上節(jié)所提出的教學(xué)內(nèi)容，再利用、PowerPoint (PPT) , Flash及MATLAB等工具制作CAI課件，適當(dāng)?shù)償?shù)學(xué)推導(dǎo)證明過(guò)程，利用具有代表性的實(shí)例實(shí)時(shí)、動(dòng)態(tài)地演示《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》的課堂講授內(nèi)容，這樣可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其理解能力，學(xué)生即可以較好解一些抽象的理論原理，又能將理論與應(yīng)用結(jié)合起來(lái)，從而提高課堂教學(xué)效率。由此，筆者提出傳統(tǒng)的黑板板書(shū)結(jié)合多媒體課件以及MATLAB軟件和“實(shí)際數(shù)學(xué)背景—概念—定理—數(shù)值計(jì)算實(shí)例—應(yīng)用實(shí)例”的授課模式。
例如在講授分離變量法時(shí)，可結(jié)合駐波以及疊加原理這一物理背景展開(kāi)，然后具體講授分離變量法的實(shí)施步驟，最后運(yùn)用具體算例講解。如利用PPT講授分離變量法求解方程
雖然可通過(guò)PPT很好地將分離變量法的求解過(guò)程演示出來(lái)，但學(xué)生可能對(duì)該疊加解的理解很淺，但若運(yùn)用繪圖軟件MATLAB將該解用下圖來(lái)表示。圖中z軸坐標(biāo)分別表示疊加項(xiàng)中的第1至第5項(xiàng)以及最終的解。由圖明顯地看出，隨著疊加解中子項(xiàng)的增大，其子項(xiàng)在解中所占的分量越來(lái)越輕，疊加解收斂性由此可見(jiàn)。借助此圖，學(xué)生對(duì)該解的具體形式乃至疊加原理可有更深人的理解。
4實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合
為了加深學(xué)生對(duì)該課程的深人理解和掌握運(yùn)用，還可以利用學(xué)校便利的網(wǎng)絡(luò)資源將工程實(shí)例擴(kuò)展為軟件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，補(bǔ)充硬件實(shí)驗(yàn)的不足，學(xué)生可以將MATLAB作為學(xué)習(xí)工具，以積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)者角色開(kāi)展研究型學(xué)習(xí)，并在學(xué)習(xí)中不斷提高自己的創(chuàng)造能力，改變傳統(tǒng)的被動(dòng)接受知識(shí)的教學(xué)模式。教師也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的平臺(tái)發(fā)揮主導(dǎo)作用，與學(xué)生互動(dòng)。
為了將培養(yǎng)大學(xué)生的思維能力和數(shù)值計(jì)算能力落到實(shí)處，筆者根據(jù)該課程的具體內(nèi)容設(shè)計(jì)了8個(gè)具體的數(shù)值試驗(yàn):即疊加解的圖形演示，算法的穩(wěn)定性討論，非線性方程求根，多項(xiàng)式插值，線性方程組的求解，數(shù)值積分、常微分方程的求解，振動(dòng)方程的求解。并將實(shí)踐教學(xué)的實(shí)踐結(jié)果納人到《力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法》課程的考核中。具體做法為實(shí)驗(yàn)報(bào)告占平時(shí)成績(jī)的40%。每次實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求包括以下內(nèi)容:(1)求解問(wèn)題的具體描述;(2)數(shù)值求解算法;(3) MATLAB程序;(4)數(shù)值計(jì)算結(jié)果;(5)數(shù)值算法分析。
實(shí)驗(yàn)報(bào)告的具體考核標(biāo)準(zhǔn)為:(1)所建立的數(shù)學(xué)模型是否合理;(2)數(shù)值算法設(shè)計(jì)是否思路清晰，設(shè)計(jì)是否合理;(3) MATLAB程序是否編寫(xiě)正確，代碼是否規(guī)范;(3)數(shù)值計(jì)算結(jié)果是否正確;(4)數(shù)值算法分析是否全面，分析是否準(zhǔn)確。
通過(guò)教學(xué)實(shí)踐表明，上述所提到的教學(xué)改革的嘗試已經(jīng)取得一定的效果。
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